Question

Lim(n стремится к бесконечности) (1-1/n^2)^n^4

Answer 1

$\lim\limits_{n \to \infty} \Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr)^{n^4} = \lim\limits_{n \to \infty} \Bigl[\underbrace{\Bigl(\Bigl(1 - \frac{1}{n^2}\Bigr)^{-n^2}\Bigr)}_{e}\frac{1}{-n^2}\Bigr]^{n^4} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{-\frac{n^4}{n^2}} = \lim\limits_{n \to \infty} e^{-n^2} = e^{-\infty} = 0$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение:

Lim(n стремится к бесконечности) (1 - 1/n^2)^n^4

Чтобы найти предел данного выражения, можно воспользоваться теоремой о пределе степенной функции:

Если lim(x стремится к бесконечности) (1 + 1/x)^x = e,

то для нашего выражения можно записать:

Lim(n стремится к бесконечности) (1 - 1/n^2)^n^4 = (1 + (-1/n^2))^(n^4).

Мы знаем, что предел (1 + 1/x)^x при x стремится к бесконечности равен e, поэтому можем преобразовать выражение:

(1 + (-1/n^2))^(n^4) = ((1 + 1/(-n^2))^(-n^2))^(n^4*(-n^2)).

(1 + 1/(-n^2))^(-n^2) при n стремится к бесконечности равно e, поэтому:

((1 + 1/(-n^2))^(-n^2))^(n^4*(-n^2)) = e^(n^4*(-n^2)).

Теперь можем рассмотреть поведение экспоненты при n стремится к бесконечности. Обратим внимание на то, что n^4*(-n^2) = -n^6.

Таким образом, предел равен:

Lim(n стремится к бесконечности) e^(-n^6).

Теперь видим, что мы имеем дело с экспоненциальной функцией, где аргумент n^6 уходит в бесконечность. Это означает, что предел такой функции при n стремится к бесконечности будет равен нулю:

Lim(n стремится к бесконечности) e^(-n^6) = 0.

Итак, исходное выражение имеет предел, равный нулю:

Lim(n стремится к бесконечности) (1 - 1/n^2)^n^4 = 0.