Question

Решите уравнение : 3cos2x-7cosx-2=0 Укажите корни этого уравнения , принадлежащие отрезку (-п;2п)

Answer 1

3cos2x-7cosx-2=0

3(2cos^2x-1)-7cosx=0

6cos^2x-7cosx-5=0

6t^2-7t-5=0

D=49+120=169

t1= (7-13)/12 = -1/2

t2= (7+13)/12>1 не подходит

cosx= -1/2

X=±arccos(-1/2)+2πn, n€Z

X=±2π/3+2πn, n€Z

В промежутке (-π;2π) корнями уравнения будут являться -2π/3, 2π/3, 4π/3.

Answer 2

Для решения уравнения 3cos(2x) - 7cos(x) - 2 = 0, давайте сначала заменим cos(2x) через известную формулу:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь уравнение примет вид:

3(2cos^2(x) - 1) - 7cos(x) - 2 = 0

Раскроем скобки:

6cos^2(x) - 3 - 7cos(x) - 2 = 0

Упорядочим:

6cos^2(x) - 7cos(x) - 5 = 0

Теперь это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 6, b = -7 и c = -5.

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-7)^2 - 4 * 6 * (-5) = 49 + 120 = 169

Так как дискриминант D положителен (D > 0), у уравнения есть два различных действительных корня.

Теперь найдем корни уравнения, используя формулы:

x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (7 + √169) / (2 * 6) = (7 + 13) / 12 = 20 / 12 = 5 / 3 ≈ 1.667

x₂ = (7 - √169) / (2 * 6) = (7 - 13) / 12 = -6 / 12 = -1 / 2 = -0.5

Таким образом, корни уравнения 3cos(2x) - 7cos(x) - 2 = 0, принадлежащие отрезку (-π; 2π), равны приближенно:

x₁ ≈ 1.667 (или в радианах ~ 1.667 * π)

x₂ ≈ -0.5 (или в радианах ~ -0.5 * π)