Question

Помогите ПРОСТО. найти интеграл: 1) ∫dx/cos^2x 2) ∫(2x^2+1)dx = ∫2x^2dx+∫dx

Answer 1

1). =tgx+C

2). =(2x^3)/3+x+C

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти эти интегралы.

1. Интеграл ∫dx/cos^2x:

Для того чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся тригонометрической заменой. Положим t = tan(x/2), откуда можно выразить dx через dt следующим образом: dx = 2 dt / (1 + t^2), и выразим cos^2(x) через t: cos^2(x) = 1 / (1 + t^2).

Теперь интеграл примет вид ∫(2 dt / (1 + t^2)) / (1 / (1 + t^2)) = 2∫dt = 2t + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к исходной переменной x, заменяя обратно t на tan(x/2): Ответ: ∫dx/cos^2x = 2 tan(x/2) + C.

2. Интеграл ∫(2x^2 + 1) dx:

Для нахождения этого интеграла просто проинтегрируем каждое слагаемое отдельно.

∫2x^2 dx = (2/3) x^3 + C1, где C1 - произвольная постоянная. ∫1 dx = x + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Теперь объединим результаты: ∫(2x^2 + 1) dx = (2/3) x^3 + x + C, где C = C1 + C2 - итоговая произвольная постоянная.

Ответ: ∫(2x^2 + 1) dx = (2/3) x^3 + x + C.

Пожалуйста, обратите внимание, что в обоих ответах встречаются произвольные постоянные (C и C1 в первом интеграле, C и C2 во втором интеграле), которые могут принимать любые значения. Их присутствие в ответе объясняется тем, что при нахождении первообразной функции (интеграла) производная любой константы равна нулю, поэтому при интегрировании мы не можем однозначно определить конкретные значения этих постоянных.