Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=\frac{2}{|x|} на промежутке: 2) [-2,4;-1].

Answer 1

Исследуем функцию на экстремумы.

$f'(x) = (\frac{2}{|x|})' = -\frac{2x}{|x|^3}$. У функции нет экстремумов, тк она не определена в точке $x = 0$. Значит функция монотонна.

Тогда проверим значения на концах отрезка:

$f(-2.4) = \frac{10}{12}\\f(-1) = 2$

Они являются наименьшим и наибольшим значениями соответственно.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на заданном промежутке [-2, 4; -1], нужно рассмотреть значения функции на краях интервала и в критических точках внутри интервала (если они есть).

1. Краевые точки:

• x = -2 (нижний конец промежутка)
• x = -1 (верхний конец промежутка)

2. Критические точки внутри промежутка: Для определения критических точек найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f(x) = 2/|x| f'(x) = -2/x^2 (для x < 0) f'(x) = 2/x^2 (для x > 0)

f'(x) = 0 при x = 0

Таким образом, единственной критической точкой внутри промежутка [-2, 4; -1] является x = 0.

Теперь найдем значения функции f(x) во всех критических и краевых точках:

1. f(-2) = 2/|-2| = 2/2 = 1
2. f(-1) = 2/|-1| = 2/1 = 2
3. f(0) = 2/|0| - не существует, так как деление на ноль не определено.
4. f(4) = 2/|4| = 2/4 = 1/2

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) равно 1/2 и достигается при x = 4, а наибольшее значение равно 2 и достигается при x = -1.