Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^3,x=-1,x=2,y=0.

Answer 1

                                                 .............................................................        

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нам необходимо определить, какие из них образуют границы этой фигуры, а затем вычислить интеграл площади под кривой.

Сначала нарисуем графики этих функций, чтобы увидеть, как они выглядят на координатной плоскости:

1. Функция y = -x^3 - это кубическая кривая, которая проходит через начало координат и имеет форму направленного внизу параболы.
2. Прямая x = -1 - это вертикальная линия, проходящая через точку (-1, 0).
3. Прямая x = 2 - это еще одна вертикальная линия, проходящая через точку (2, 0).
4. Прямая y = 0 - это горизонтальная линия, которая является осью x.

Площадь фигуры между этими кривыми и осями x и y будет равна модулю интеграла функции, задающей верхнюю границу фигуры, минус модуль интеграла функции, задающей нижнюю границу фигуры.

Таким образом, площадь фигуры будет равна: $\text{Площадь} = \left| \int_{-1}^{2} -x^3 \, dx \right|$

Вычислим этот интеграл: $\int -x^3 \, dx = \frac{-x^4}{4} + C$

Теперь вычислим значение интеграла на пределах от -1 до 2: $\left[ \frac{-x^4}{4} \right]_{-1}^{2} = \frac{-2^4}{4} - \frac{-(-1)^4}{4} = -4 - \frac{1}{4} = -\frac{17}{4}$

Так как площадь не может быть отрицательной, возьмем модуль: $\text{Площадь} = \left| -\frac{17}{4} \right| = \frac{17}{4}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^3, x = -1, x = 2 и y = 0, равна $\frac{17}{4}$ или 4.25 квадратных единицы.