Question

Постройте график функции y=(x²+3x+2)(x²-4x+3) / x²-2x-3 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

$\sf y=\dfrac{(x^2+3x+2)(x^2-4x+3)}{x^2-2x-3}=\dfrac{(x+1)(x+2)(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+1)}=(x+2)(x-1)=\\=x^2+x-2$

ООФ:  x-3≠0 U x+1≠0  ⇒  x≠3 U x≠-1  ⇒  x∈(-∞; -1)U(-1; 3)U(3; +∞)

Точки для графика: (-4; 10), (-3; 4), (-2; 0), (-1; -2) - выколота, (-0,5; -2,25), (0; -2), (1; 0), (2; 4), (3; 10) - выколота

Прямая y=m будет иметь только одну общую с графиком точку, если пройдет через вершину параболы, либо через ветвь параболы и выколотую точку. Получаем y=-2,25; y=-2; y=10.

Ответ: y=-2,25; y=-2; y=10

Answer 2

Для построения графика функции y=(x²+3x+2)(x²-4x+3) / (x²-2x-3) сначала найдем ее область определения, а затем построим график.

1. Область определения функции: Функция имеет знаменатель (x²-2x-3), поэтому область определения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: x²-2x-3 ≠ 0

Чтобы найти точки, в которых знаменатель равен нулю, решим уравнение: x²-2x-3 = 0

(x-3)(x+1) = 0

Таким образом, x = 3 и x = -1 - это точки, в которых знаменатель равен нулю, и, следовательно, в этих точках функция не определена. Значит, область определения функции - это множество всех действительных чисел, кроме x = 3 и x = -1.

2. Построение графика функции:

Для построения графика, определим поведение функции при x → ±∞ и на основе этой информации нарисуем график.

Первый шаг - разложить функцию на простые множители: y = (x²+3x+2)(x²-4x+3) / (x²-2x-3)

y = ((x+2)(x+1))((x-3)(x-1)) / ((x-3)(x+1))

Теперь упростим выражение: y = (x+2)(x-1), x ≠ -1, x ≠ 3

Теперь мы знаем, что график функции состоит из двух прямых: одна с уравнением y = x+2, и другая с уравнением y = x-1. Обе прямые имеют наклон 1, и первая параллельна прямой y = x, а вторая параллельна прямой y = x-2.

Теперь нарисуем график функции:

График функции y = (x+2)(x-1) выглядит так:

makefileCopy code
    ^
    |
y=4 |     ┌───────
   3 |     |        ┌───────
   2 |     |             |         ┌───────
   1 |     |             |              |
   0 |_____|_____|_____|_____|_____|___|______> x
      -2   -1    0    1    2    3    4

3. Определение значений m для прямой y=m, которая имеет ровно одну общую точку с графиком функции.

Чтобы найти значения m, при которых прямая y=m пересекает график функции ровно в одной точке, нужно найти такое значение m, при котором уравнение y = m имеет один корень кратности 1. Это произойдет, когда прямая горизонтальна и касается графика функции.

Из графика видно, что при m = 2 прямая y=2 касается графика функции y=(x+2)(x-1) в точке (0, 2).

Таким образом, прямая y=2 имеет ровно одну общую точку с графиком функции при m=2.