Question

Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 235?

Answer 1

Это арифметическая прогрессия.

a1 = 1; d = 1; любое a(n) = n.

Нужно найти такое n, что S(n) <= 235; S(n+1) > 235.

{ S(n) = (a1 + a(n))*n/2 = (1 + n)*n/2 <= 235

{ S(n+1) = (a1 + a(n+1))*(n+1)/2 = (1 + n + 1)(n + 1)/2 > 235

Получаем

{ (n + 1)*n <= 470

{ (n + 2)(n + 1) > 470

Раскрываем скобки

{ n^2 + n - 470 <= 0

{ n^2 + 3n - 468 > 0

Решаем квадратные неравенства

{ D = 1 + 4*470 = 1881 ≈ 43,4^2

{ D = 9 + 4*468 = 1881 ≈ 43,4^2

Как ни странно, дискриминанта получились одинаковые.

{ n = (-1 + 43,4)/2 <= 21

{ n = (-3 + 43,4)/2 > 20

Ответ 21.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте последовательно складывать натуральные числа, начиная с 1, пока сумма не станет больше или равна 235. Затем мы уменьшим сумму на 1, чтобы получить наибольшее число последовательных натуральных чисел, которые можно сложить.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n < 235

Мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (n * (n + 1)) / 2

Теперь нам нужно решить неравенство:

(n * (n + 1)) / 2 < 235

Перепишем его без дробей:

n * (n + 1) < 470

n^2 + n - 470 < 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

n = (-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * (-470))) / 2 n = (-1 ± √(1 + 1880)) / 2 n = (-1 ± √1881) / 2

Так как нам интересует только положительное значение n, мы берем только положительный корень:

n = (-1 + √1881) / 2 n ≈ 20.86

Так как мы ищем натуральное число, наибольшее значение n, которое удовлетворяет условию, равно 20. Значит, наибольшее число последовательных натуральных чисел, которые можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 235, равно:

1 + 2 + 3 + ... + 20 = 210.