Question

Помогите пожалуйста найти область значений функции y=1/(1+x^2) Должно получится (0;1]

Answer 1

рассуждать удобно начать со знаменателя...

для функции у = х² множество значений известно: [0; +oo)

если прибавить единицу: у = х²+1 множество значений станет: [1; +oo)

т.к. рассматривается выражение, обратное данному, то "чем больше будет число в знаменателе, тем меньше будет значение этой дроби"...

а самое большое число получится при х=0 ---> у = 1

Answer 2

Для определения области значений функции y = 1 / (1 + x^2), мы должны найти, какие значения y могут принимать при различных значениях x.

Заметим, что функция y = 1 / (1 + x^2) всегда положительна, потому что числитель равен 1, а знаменатель (1 + x^2) всегда положителен, так как x^2 неотрицательно и прибавление 1 делает его больше нуля.

Теперь посмотрим, как меняется функция при изменении значения x:

1. Когда x стремится к минус бесконечности, x^2 становится очень большим положительным числом, и тогда 1 / (1 + x^2) стремится к 0. То есть при x → -∞, y → 0.

2. Когда x равен нулю, y = 1 / (1 + 0^2) = 1 / 1 = 1.

3. Когда x стремится к плюс бесконечности, x^2 становится очень большим положительным числом, и тогда 1 / (1 + x^2) стремится к 0. То есть при x → +∞, y → 0.

Таким образом, область значений функции y = 1 / (1 + x^2) - это полуинтервал (0, 1], так как функция принимает все значения в интервале от 0 до 1 включительно, исключая саму точку 0.