Question

Помогите пожалуйста найти область значений функции y=1/(1+x^2) Должно получится (0;1]

Answer 1

рассуждать удобно начать со знаменателя...

для функции у = х² множество значений известно: [0; +oo)

если прибавить единицу: у = х²+1 множество значений станет: [1; +oo)

т.к. рассматривается выражение, обратное данному, то "чем больше будет число в знаменателе, тем меньше будет значение этой дроби"...

а самое большое число получится при х=0 ---> у = 1

Answer 2

Для найти область значений функции $y = \frac{1}{1 + x^2}$, мы должны определить, какие значения $y$ может принимать функция при всех возможных значениях $x$.

Обратите внимание, что в данной функции дробь всегда положительна, так как числитель равен 1, а знаменатель $1 + x^2$ всегда больше нуля для любого значения $x$ (так как $x^2$ неотрицательно, а прибавление положительного числа не меняет его знак).

Таким образом, мы можем ограничиться анализом значений дроби $\frac{1}{1 + x^2}$ при различных значениях $x$ от $-\infty$ до $+\infty$.

При $x \to -\infty$, $x^2 \to \infty$, и следовательно, $1 + x^2 \to \infty$. Таким образом, $\frac{1}{1 + x^2} \to 0$.

При $x \to +\infty$, $x^2 \to \infty$, и следовательно, $1 + x^2 \to \infty$. Таким образом, $\frac{1}{1 + x^2} \to 0$.

Мы видим, что функция стремится к 0 на бесконечности. Однако, она всегда больше нуля, так как в знаменателе всегда положительное число $1 + x^2$.

Таким образом, область значений функции $y = \frac{1}{1 + x^2}$ - это все значения $y$, которые больше нуля и не превышают 1.

Область значений $y$ для данной функции: $0 < y \leq 1$.

Можно записать это в виде интервала: $0 < y \leq 1$.