Question

Чисельник звичайного нескоротного дробу на 2 менший від займенника. Якщо від чисельника відняти 2, а до займенника додати 5, то дріб зменшиться на 1 /2. Знайдіть цей дріб.

Answer 1

Числитель обычной несократимой дроби на 2 меньше от знаменателя. Если от числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 5, то дробь уменьшится на 1 /2. Найдите дробь.

Решение

Пусть х - знаменатель, тогда

(х-2)- числитель

$\frac{x-2}{x}$ - искомая дробь

ОДЗ: х≠0; x≠2

(х+5) - знаменатель новой дроби, тогда

(х-2-2) = (х-4)- числитель новой дроби

$\frac{x-4}{x+5}$ - новая дробь

По условию новая дробь меньше первоначальной на 1/2, получаем уравнение:

$\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}=\frac{1}{2}$

$\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}-\frac{1}{2}=0$

$\frac{2*(x-2)*(x+5)-2x*(x-4)-1*x*(x+5)}{2x(x+5)}=0$

$\frac{2x^2+6x-20-2x^2+8x-x^2-5x}{2x(x+5)}=0$

$\frac{-x^2+9x-20}{2x(x+5)}=0$

ОДЗ: х≠0; x≠-5

$-x^2+9x-20=0$

$x^2-9x+20=0$

$D=81-4*1*20=81-80=1=1^2$

$x_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4$

$x_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5$

1) При х₁ = 4 получается дробь 2/4, у которой если от числителя вычесть 2, то данная дробь превратится в 0, значит, х₁=4 не удовлетворяет условию.

2) При х₂ = 5 получается дробь 3/5, которая полностью удовлетворяет условию.

Проверка:

$\frac{3}{5}-\frac{3-2}{5+5}=\frac{1}{2}$

$\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$

$\frac{3*2-1}{10}=\frac{1}{2}$

$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$  верное равенство.

Ответ:  $\frac{3}{5}$

Answer 2

Давайте позначимо чисельник дробу через "х", а знаменник через "у".

За умовою задачі, чисельник звичайного нескоротного дробу на 2 менший від знаменника, тобто:

х = у - 2

Також умова говорить нам, що якщо від чисельника відняти 2, а до знаменника додати 5, то дріб зменшиться на 1/2. Перетворимо цю умову на рівняння:

(x - 2) / (у + 5) = x / у - 1 / 2

Тепер підставимо значення "х" з першого рівняння у друге:

(у - 2 - 2) / (у + 5) = (у - 2) / у - 1 / 2

(у - 4) / (у + 5) = (у - 2) / у - 1 / 2

Тепер розв'яжемо це рівняння:

Розширимо рівняння на 2(у + 5):

2(у - 4) = (у + 5)(у - 2)

Розкриємо дужки:

2у - 8 = у^2 - 2у + 5у - 10

Спростимо:

у^2 - 9у + 2 = 0

Тепер знайдемо значення "у" за допомогою квадратного рівняння.

Дискримінант (D) квадратного рівняння у^2 - 9у + 2 = 0:

D = b^2 - 4ac D = (-9)^2 - 4 * 1 * 2 D = 81 - 8 D = 73

Так як дискримінант D > 0, у нас є два розв'язки:

у = ( -b + √D ) / 2a або у = ( -b - √D ) / 2a

у = ( 9 + √73 ) / 2 або у = ( 9 - √73 ) / 2

у ≈ 5.79 або у ≈ 3.21

Так як дріб звичайний і нескоротний, знаменник має бути більший за чисельник. Тому візьмемо у = 5.79

Тепер знайдемо значення "х" за допомогою першого рівняння:

х = у - 2 х ≈ 5.79 - 2 х ≈ 3.79

Таким чином, дріб, що задовольняє умовам задачі, буде приблизно 3.79 / 5.79. Але ми ще можемо спростити цей дріб, поділивши чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НСД), який у цьому випадку дорівнює 1:

3.79 / 5.79 ≈ 3.79 / 5.79 (не можемо спростити дріб)