Question

Знаменник звичайного нескоротного дробу на 3 більший за чисельник. Якщо до чисельника дробу додати 9, а до знаменника додати 10, то дріб збільшиться на 1/3 Знайдіть цей дріб

Answer 1

Нехай чисельник початкового дробу х, x - ціле, тоді знаменник (х+3), чисельник нового дробу (х+9), знаменник нового (х+3+10). Складемо рівняння за умовою й розв'яжемо його.

$\frac{x + 9}{x + 3 + 10} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{3} \\ \frac{x + 9}{x + 13} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{3} \\ \frac{3(x + 9)(x + 3) - 3x(x + 13) - (x + 3)(x + 13)}{3(x + 3)(x + 13)} = 0 \\ \frac{3 {x}^{2} + 36x + 81 - 3 {x}^{2} - 39x - {x}^{2} - 16x - 39 }{3(x + 3)(x + 13)} = 0 \\ \frac{ - {x}^{2} - 19x + 42 }{3(x + 3)(x + 13)} = 0$

ОДЗ: x+3≠0, x≠-3; x+13≠0, x≠-13

-x²-19x+42=0

x²+19x-42=0

D=b²-4ac=19²-4×(-42)=361+168=529

x=(-b±√D)/2a; x1=(-19+√529)/2=(-19+23)/2=4/2=2; x2=(-19-√529)/2=(-19-23)/2=(-42)/2=-21

Маємо дроби 2/(2+3)=2/5 та (-21)/(-21+3)=21/18 - дріб скоротний, що не відповідає умові задачі.

Відповідь: 2/5.

Answer 2

Позначимо чисельник дробу як "х", а знаменник як "у".

За умовою задачі знаменник звичайного нескоротного дробу на 3 більший за чисельник, тобто:

у = x + 3

Також умовою задачі сказано, що якщо до чисельника дробу додати 9, а до знаменника додати 10, то дріб збільшиться на 1/3. Це можна представити математично так:

(x + 9) / (у + 10) = x / у + 1/3

Замінимо у на x + 3 з першого рівняння:

(x + 9) / (x + 3 + 10) = x / (x + 3) + 1/3

Спростимо вираз:

(x + 9) / (x + 13) = x / (x + 3) + 1/3

Розкриємо дужки в рівнянні:

(x + 9) * (x + 3) = x * (x + 13) + 1/3 * (x + 13)

Розкриємо множення:

x^2 + 3x + 9x + 27 = x^2 + 13x + (1/3)x + 13

Скоротимо подібні доданки:

x^2 + 12x + 27 = x^2 + (13 + 1/3)x + 13

x^2 + 12x + 27 = x^2 + (40/3)x + 13

Тепер перенесемо все у ліву частину рівняння:

x^2 + 12x + 27 - x^2 - (40/3)x - 13 = 0

x^2 - (40/3)x + 14 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Застосуємо квадратне рівняння x^2 + bx + c = 0, де b = -(40/3) і c = 14:

x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

x = [-(40/3) ± √((40/3)^2 - 4 * 1 * 14)] / 2 * 1

x = [-40/3 ± √(1600/9 - 56)] / 2

x = [-40/3 ± √(1600/9 - 504/9)] / 2

x = [-40/3 ± √(1096/9)] / 2

x = [-40/3 ± √(121.78)] / 2

Так як шуканий дріб нескоротний, то ми оберемо той корінь, що дає нам більший чисельник:

x = (-40/3 + √(121.78)) / 2

x ≈ (-40/3 + 11.03) / 2

x ≈ (11.03 - 40/3) / 2

x ≈ (11.03 - 13.33) / 2

x ≈ -2.3 / 2

x ≈ -1.15

Тепер знайдемо відповідний знаменник:

у = x + 3

у ≈ -1.15 + 3

у ≈ 1.85

Таким чином, шуканий дріб є -1.15/1.85.