Question

Найди сумму всех натуральных чисел не превосходящих 180, которые при делении на 16 дают остаток 1.

Answer 1

Ответ:

1068

Объяснение:

Числа, которые при делении на 16 дают остаток 1 можно представить в виде

a(n)=16·(n-1)+1, где n∈{1; 2; ...}

Определим наибольшее значение n, для которого выполнено условие задачи:

16·(n-1)+1 ≤ 180

16·(n-1) ≤ 179

n-1 ≤ 179/16

n ≤ 12 3/16.

Но n натуральное число, то наибольшее значение n = 12.

Последовательность a(n)=16·(n-1)+1, где n∈{1; 2; ...} - арифметическая прогрессия, где первый член a(1) = 1, шаг прогрессии d = 16.

Поэтому находим сумму первых 12-членов прогрессии по формуле:

S(n)=(a(1)+a(n))·n/2.

Сначала определим значения a(12):

a(12)=16·(12-1)+1 = 16·11+1 = 176+1= 177.

Наконец:

S(12) = (a(1)+a(12))·12/2 = (1+177)·6 = 178·6 = 1068.

Answer 2

Для нахождения суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 180, которые при делении на 16 дают остаток 1, можно воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего путем добавления к нему одного и того же фиксированного числа, называемого шагом.

Шаг арифметической прогрессии можно найти, вычислив разницу между соседними числами, удовлетворяющими условиям задачи:

Для деления на 16 с остатком 1, возможные числа в последовательности: 1, 1 + 16, 1 + 216, 1 + 316, ..., 1 + n*16

Общий член арифметической прогрессии a_n можно выразить формулой: a_n = a_1 + (n-1) * d

где a_1 - первый член прогрессии (в нашем случае a_1 = 1), d - шаг прогрессии (в нашем случае d = 16), n - количество членов прогрессии, которые не превосходят 180.

Для определения значения n, найдем максимальное значение n при условии a_n <= 180:

a_n = 1 + (n-1) * 16 <= 180

Решим неравенство:

n - 1 <= (180 - 1) / 16 n - 1 <= 179 / 16 n - 1 <= 11.1875

Так как n должно быть натуральным числом, ближайшее целое меньше или равное 11.1875 - это 11.

Теперь можем найти сумму первых 11 членов арифметической прогрессии:

Сумма арифметической прогрессии: S_n = (n/2) * (a_1 + a_n)

S_11 = (11/2) * (1 + (11 - 1) * 16) S_11 = 11/2 * (1 + 10 * 16) S_11 = 11/2 * (1 + 160) S_11 = 11/2 * 161 S_11 = 11 * 80.5 S_11 = 885.5

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 180, которые при делении на 16 дают остаток 1, равна 885.5.