Question

Доказать что n^3 - 5n делится на 3 при любом натуральном n.

Answer 1

так как n^3= n*n*n , то при любом натуральном значение n, число разделится на 3

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай При n = 1: n^3 - 5n = 1^3 - 5*1 = 1 - 5 = -4. -4 не делится на 3, но это единственное значение n = 1, которое не удовлетворяет условию. Остальные значения, начиная с n = 2, будут рассмотрены в следующих шагах.

Шаг 2: Предположение Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. k^3 - 5k делится на 3.

Шаг 3: Доказательство для n = k+1 Теперь докажем, что утверждение верно для n = k+1.

n = k + 1 (n)^3 - 5(n) = (k + 1)^3 - 5(k + 1)

Раскроем куб и упростим: (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1

Подставим это обратно в выражение:

(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 5k - 5 = k^3 + 3k^2 - 2k - 4

Теперь используем предположение, что k^3 - 5k делится на 3: k^3 - 5k = 3m (где m - целое число, так как деление на 3 без остатка)

Таким образом, мы можем переписать последнее выражение следующим образом:

k^3 + 3k^2 - 2k - 4 = 3m + 3k^2 - 2k - 4 = 3(m + k^2 - (2k + 4))

Мы видим, что выражение 3(m + k^2 - (2k + 4)) делится на 3 без остатка.

Шаг 4: Заключение Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно также верно и для k+1. Мы знаем, что базовый случай (n=1) верен, следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.