Question

Докажите, что 5^9 - 5^8 + 5^7 делится на 21

Answer 1

$5^{9}-5^{8}+5^{7} =5^{7}*(5^{2} -5+1)=5^{7}(25-4)=5^{7}*21$

Если один из множителей делится на 21, то и всё произведение делится на 21.

Answer 2

Для доказательства, что выражение $5^9 - 5^8 + 5^7$ делится на 21, мы можем использовать алгебру и свойства деления.

Для начала, давайте разложим каждое слагаемое на множители:

$5^9 = 5 \cdot 5^8$

$5^8 = 5 \cdot 5^7$

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$5^9 - 5^8 + 5^7 = (5 \cdot 5^8) - (5 \cdot 5^7) + 5^7$

Теперь давайте вынесем общий множитель за скобки:

$5^9 - 5^8 + 5^7 = 5^7 \cdot (5 - 1 + 1)$

Теперь сократим скобки:

$5^9 - 5^8 + 5^7 = 5^7 \cdot 5 = 5^8$

Таким образом, мы получили, что $5^9 - 5^8 + 5^7$ равно $5^8$. Теперь нам нужно показать, что $5^8$ делится на 21.

Заметим, что $21 = 3 \cdot 7$, следовательно, чтобы доказать, что число делится на 21, нам достаточно показать, что оно делится и на 3, и на 7.

Посмотрим на $5^8$ и разложим его на множители:

$5^8 = 5 \cdot 5^7 = 5 \cdot (5 \cdot 5^6) = 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 5^5)) = \ldots = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Теперь мы видим, что $5^8$ содержит 8 множителей 5.

Из этого следует, что $5^8$ делится на 3, потому что сумма цифр числа 5 (5 = 5) делится на 3, и следовательно, само число 5 тоже делится на 3. Таким образом, все 8 множителей 5 в $5^8$ также делятся на 3.

Кроме того, видно, что $5^8$ делится на 7, потому что $5^8 = 5 \cdot (5^7)$ и $5^7$ содержит 7 множителей 5, что означает, что это число делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что $5^8$ делится на 3 и на 7, а значит, оно делится и на их произведение 21. Следовательно, $5^9 - 5^8 + 5^7$ делится на 21.