Question

Найдите площади фигур, ограниченных следующими кривыми. Постройте соответствующие рисунки по данным; y=x²-2x, y=4-x²

Answer 1

===============================

Answer 2

Для нахождения площадей фигур, ограниченных данными кривыми, сначала найдем точки их пересечения, а затем построим графики для визуализации. Затем вычислим площади методом интегрирования.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых y = x² - 2x и y = 4 - x². Для этого приравняем выражения друг другу и решим уравнение:

x² - 2x = 4 - x²

2x² - 2x - 4 = 0

x² - x - 2 = 0

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1)

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x₁ = (1 + 3) / 2 = 2

x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

Шаг 2: Построим графики кривых y = x² - 2x и y = 4 - x².

Для удобства построения графиков и вычисления площадей воспользуемся онлайн-инструментами. Вот графики:

Шаг 3: Вычислим площади фигур, ограниченных данными кривыми.

Общий принцип для вычисления площадей между кривыми заключается в интегрировании разности одной кривой и другой по переменной x от точки пересечения до точки пересечения.

Первая фигура ограничена кривыми y = x² - 2x и y = 4 - x², и охватывает область между ними на интервале x = -1 до x = 2.

Площадь первой фигуры:

S₁ = ∫[from -1 to 2] [(4 - x²) - (x² - 2x)] dx = ∫[from -1 to 2] (4 - 2x² + 2x) dx = [4x - (2/3)x³ + x²] [from -1 to 2] = [4(2) - (2/3)(2)³ + 2²] - [4(-1) - (2/3)(-1)³ + (-1)²] = [8 - (2/3) * 8 + 4] - [-4 - (2/3) * (-1) + 1] = [8 - 16/3 + 4] - [-4 + 2/3 + 1] = [20/3] - [-13/3] = 33/3 = 11

Площадь первой фигуры равна 11 квадратным единицам.

Поздравляю, теперь у нас есть ответ и графики для данных кривых и площадей, ограниченных ими.