Question

Решите уравнение sin^2x + 2 sin^2x=2 cos2x

Answer 1

sin²x + 2sin²x = 2cos2x

3sin²x = 2cos2x

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

cos2x = 1 - 2sin²x

3sin²x = 2 - 4sin²x

7sin²x = 2

sinx = ± √[2/7]

1. sinx = √[2/7]

x = (-1)ⁿ · arccos(√[2/7]) + πn, n ∈ Z

2. sinx = -√[2/7]

x = (-1)ⁿ⁺¹ · arccos(√[2/7]) + πn, n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения sin^2x + 2sin^2x = 2cos2x, сначала преобразуем правую часть уравнения:

Мы знаем, что: cos2x = cos^2x - sin^2x

Заменим cos2x в исходном уравнении: sin^2x + 2sin^2x = 2(cos^2x - sin^2x)

Теперь объединим все члены с sin^2x на одной стороне уравнения, а с cos^2x на другой стороне: 3sin^2x = 2cos^2x

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством: sin^2x + cos^2x = 1

Таким образом, заменим sin^2x в уравнении выше на (1 - cos^2x): 3(1 - cos^2x) = 2cos^2x

Раскроем скобки: 3 - 3cos^2x = 2cos^2x

Теперь перенесем все члены с cos^2x на одну сторону уравнения: 3cos^2x + 2cos^2x = 3

5cos^2x = 3

Теперь разделим обе стороны на 5: cos^2x = 3/5

Для того чтобы найти sin^2x, воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2x = 1 - cos^2x

Подставим значение cos^2x, которое мы нашли ранее: sin^2x = 1 - 3/5 sin^2x = 2/5

Теперь найдем sinx и cosx. Так как sin^2x = (sinx)^2 и cos^2x = (cosx)^2, то:

sinx = ±√(2/5) = ±√(2)/√(5) = ±√(2/5) cosx = ±√(3/5)

Знаки "+" или "-" зависят от квадранта, в котором находится угол x. Для определения знаков sinx и cosx нам нужно знать соответствующие значения sinx и cosx.

Таким образом, решение уравнения: x = arcsin(±√(2/5)) и x = arccos(±√(3/5)), где "+" или "-" зависят от квадранта угла x.