Question

Взять 2 производную x/(x^3+2)

Answer 1

y'=((x³+2)-x*3x²)/(x³+2)²=(x³+2-3x³)/(x³+2)²=(2-2x³)/(x³+2)²

y''=((-6x²)*(x³+2)²-(2-2x³)*2(x³+2)*3x²)/(x³+2)⁴=(-6x⁵-12x²-12x²+12x⁵)/(x₃+2)³=(6x⁵-24x²)/(x³+2)³

Answer 2

Для нахождения второй производной функции $f(x) = \frac{x}{x^3 + 2}$ сначала найдем первую производную, а затем возьмем от неё производную ещё раз.

Шаг 1: Найдем первую производную $f'(x)$: Для нахождения первой производной, воспользуемся правилом дифференцирования для частного функций: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

Где $u(x) = x$ и $v(x) = x^3 + 2$.

Тогда: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^3 + 2}\right) = \frac{(x^3 + 2)(1) - x(3x^2)}{(x^3 + 2)^2}$

Упростим: $f'(x) = \frac{x^3 + 2 - 3x^3}{(x^3 + 2)^2} = \frac{-2x^3 + 2}{(x^3 + 2)^2}$

Шаг 2: Найдем вторую производную $f''(x)$: Для этого найдем производную от $f'(x)$.

Для удобства представим $f'(x)$ в виде: $f'(x) = \frac{-2x^3 + 2}{(x^3 + 2)^2} = -2x^3 + 2(x^3 + 2)^{-2}$

Теперь найдем первую производную $f''(x)$: $f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3) + \frac{d}{dx}\left(2(x^3 + 2)^{-2}\right)$

Упростим: $f''(x) = -6x^2 - 2\frac{d}{dx}\left((x^3 + 2)^{-2}\right)$

Теперь найдем производную $2(x^3 + 2)^{-2}$ с использованием цепного правила (chain rule). Обозначим $u = x^3 + 2$:

$\frac{d}{dx}\left(2(x^3 + 2)^{-2}\right) = 2 \cdot \frac{d}{du}(u^{-2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 2)$

Найдем производные: $\frac{d}{du}(u^{-2}) = -2u^{-3} = -2(x^3 + 2)^{-3}$