Question

Исследуйте и постройте график функции у=х^2(x-2)^2Все подробно опишите и постройте график Срорчно надо,заранее спасибо

Answer 1

Дана функция у=х^2(x-2)^2.

1) Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).  х ∈ (-∞; +∞).

2) Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.  Нет.

3) Найти точки пересечения с осями координат.

С осью Оу: х = 0,  у = 0.  

С осью Ох: у = 0, х²(х - 2)² = 0.  

х1 = 0,    х - 2 = 0,   х2 = 2.

4) Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Так как переменная в квадратичных множителях - функция чётная.

5) Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).  Не периодическая.

6) Найти точки экстремума и интервалы монотонности.

Производная равна: y' = 4x(x² - 3x + 2).

Приравняем нулю: 4x(x² - 3x + 2) = 0.   х1 = 0.

x² - 3x + 2 = 0.

Ищем дискриминант:  D=(-3)^2-4*1*2=9-4*2=9-8=1;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√1-(-3))/(2*1)=(1-(-3))/2=(1+3)/2=4/2=2;

x_2=(-√1-(-3))/(2*1)=(-1-(-3))/2=(-1+3)/2=2/2=1.

Имеем ещё 2 точки экстремума: х2 = 2 и х3 = 1.

Находим знаки производной на полученных промежутках:

х = -1   0 0,5   1 1,5    2     3

y' =  -24   0 1,5   0 -1,5    0      24

В точках х = 0 и х = 2 минимум функции, у = 0,

В точке х = 1 максимум функции, у = 1.

На промежутках (0; 1) и (2; +∞) функция возрастает.

На промежутках (-∞; 0) и (1; 2) функция убывает.

7) Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Вторая производная функции равна: y'' = 4(3x² - 6x + 2).

Приравняем нулю множитель в скобках: 3x² - 6x + 2 = 0.

Ищем дискриминант:  D=(-6)^2-4*3*2=36-4*3*2=36-12*2=36-24=12;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√12-(-6))/(2*3)=(√12+6)/(2*3)=(√12+6)/6=√12/6+6/6=(√3/3)+1 ≈ 1,57735;

x_2=(-√12-(-6))/(2*3)=(-√12+6)/(2*3)=(-√12+6)/6=-√12/6+6/6=(-√3/3)+1 ≈ 0,42265.

Находим знаки второй производной на полученных промежутках:

x =  0       0,42265       1             1,57735            2

y'' = 8     0             -4                    0               8 .

На промежутках (-∞; (-√3/3)+1)) и ((√3/3)+1); +∞) график вогнутый.

На промежутке ((-√3/3)+1); (√3/3)+1)) график выпуклый.

8) Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.  Асимптот нет.

9) Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.

y(x)=x²(x−2)².

Таблица точек

x y

-0.6 2.43

-0.4 0.92

-0.2 0.19

0 0

0.2 0.13

0.4 0.41

0.6 0.71

0.8 0.92

1.0 1

1.2 0.92

1.4 0.71

1.6 0.41

1.8 0.13

2.0 0

2.2 0.19

2.4 0.92

2.6 2.43

10) Построить график и асимптоты. Дан в приложении.

Answer 2

Хорошо, давайте исследуем функцию у = х^2(x-2)^2 и построим ее график. Для начала, давайте проанализируем основные характеристики этой функции:

1. Область определения: функция определена для всех значений х.

2. Нули функции: у = 0 при х = 0 и х = 2. То есть, у = 0 в двух точках: (0, 0) и (2, 0).

3. Знак функции: для х < 0 и 0 < х < 2 функция положительна, а для х > 2 функция также положительна. Между нулями (0 и 2) функция отрицательна.

4. Возрастание и убывание: функция возрастает на интервалах х < 0 и 0 < х < 2, а также на х > 2. Между нулями функция убывает.

5. Экстремумы: функция имеет локальный минимум в точке (2, 0).

6. Поведение при x -> ±бесконечности: функция стремится к положительной бесконечности, так как квадраты неотрицательных чисел всегда неотрицательны.

Теперь построим график функции. Для этого нам понадобится основная форма графика функции, ее нули и поведение около них, а также точка экстремума:

1. Нули функции: (0, 0) и (2, 0).

2. Знаки и интервалы знакопостоянства: функция положительна на интервалах х < 0, 0 < х < 2 и х > 2. Она отрицательна на интервале 0 < х < 2.

3. Поведение около нулей: при х -> 0 функция у -> 0^2(0-2)^2 = 0, что соответствует точке (0, 0). При х -> 2 функция у -> 2^2(2-2)^2 = 0, что соответствует точке (2, 0).

4. Поведение в других областях: при х -> ±бесконечности функция у -> (+бесконечность)^2(+бесконечность-2)^2 = +бесконечность, что соответствует стремлению функции к положительной бесконечности.

Теперь построим график функции:

plaintextCopy code
       ^
       |
       |
       |
       |                 (2,0) (локальный минимум)
       |                 /
       |               _/
       |
       |             _/
       |          _/
       |       _/
       |    _/
       |  _/
_______|/_____________________>
       | 0               2

На графике видно, что функция проходит через точки (0, 0) и (2, 0) и имеет локальный минимум в точке (2, 0). Она стремится к положительной бесконечности при x -> ±бесконечности.

Помимо графического представления, можно также выразить функцию у = х^2(x-2)^2 в виде произведения множителей: у = х^2 * (х-2)^2, что позволяет легче анализировать ее поведение. Это произведение квадратов, поэтому она всегда неотрицательна, и ее единственный ноль - в точке (0, 0) при х = 0 и (2, 0) при х = 2.

Надеюсь, что это подробное описание и график помогли вам! Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задать их.