Question

Решить уравнение (1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)...(1-1/х^2)=8/15

Answer 1

(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)(1-1/x^2)=8/15

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значение переменной "х", которое удовлетворяет условию:

(1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)(1 - 1/4^2)...(1 - 1/х^2) = 8/15

Для начала, давайте упростим выражение в скобках, чтобы упростить уравнение:

(1 - 1/2^2) = (1 - 1/4) = 3/4 (1 - 1/3^2) = (1 - 1/9) = 8/9 (1 - 1/4^2) = (1 - 1/16) = 15/16

Обратите внимание, что каждый элемент в скобках образует геометрическую прогрессию, и мы можем записать общий вид для k-ого элемента как (1 - 1/k^2) = (k^2 - 1)/k^2.

Теперь уравнение можно записать следующим образом:

(3/4)(8/9)(15/16)...((х^2 - 1)/х^2) = 8/15

Теперь мы можем сократить некоторые общие множители:

(3/4)(8/9)(15/16)...((х^2 - 1)/х^2) = 8/15

(3/4)(1/3)(5/4)...((х^2 - 1)/х^2) = 8/15

Теперь упростим дальше, убрав общие множители:

(1/1)(1/1)(1/1)...((х^2 - 1)/х^2) = 8/15

Теперь у нас осталось:

(х^2 - 1)/х^2 = 8/15

Теперь домножим обе стороны уравнения на х^2:

х^2 - 1 = (8/15) * х^2

Теперь приведем всё к общему знаменателю и упорядочим:

15х^2 - 15 = 8х^2

Переносим все члены на одну сторону:

15х^2 - 8х^2 - 15 = 0

7х^2 - 15 = 0

Теперь это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня:

7х^2 = 15

х^2 = 15 / 7

х = ± √(15 / 7)

Таким образом, у нас два возможных решения для х:

х = ± √(15 / 7)

Приближенно:

х ≈ ± 1.415

Итак, уравнение имеет два решения: х ≈ 1.415 и х ≈ -1.415.