Question

Как найти остаток от деления 9^1972 – 7^1972 на 10?

Answer 1

9¹⁹⁷² – 7¹⁹⁷²=81⁹⁸⁶-49⁹⁸⁶≡1⁹⁸⁶-9⁹⁸⁶(mod 10)=1-81⁴⁹³≡1-1⁴⁹³(mod 9)=1-1=0

То есть 9¹⁹⁷² – 7¹⁹⁷²≡0(mod 10). Это значит, что 9¹⁹⁷² – 7¹⁹⁷² дает остаток 0 при делении на 10.

___________

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для нахождения остатка от деления числа на 10 можно использовать метод последовательных возведений в степень с вычислением остатка на каждом шаге, чтобы избежать переполнения при работе с большими числами.

Для данной задачи, мы можем использовать малую теорему Ферма, которая гласит: если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p), где a не делится на p. В нашем случае, p = 10, что является простым числом, и a не делится на 10, так как 9 и 7 не делятся на 10.

Таким образом, для нахождения остатка от деления 9^1972 – 7^1972 на 10, нам необходимо найти остатки 9^1972 и 7^1972 при делении на 10, а затем вычислить разность остатков.

Вычислим остатки для 9^1972 и 7^1972:

1. Найдем остаток 9^1972 при делении на 10: 9^1 ≡ 9 (mod 10) 9^2 ≡ 81 (mod 10) (остаток 1) 9^3 ≡ 729 (mod 10) (остаток 9) 9^4 ≡ 6561 (mod 10) (остаток 1) 9^5 ≡ 59049 (mod 10) (остаток 9) и так далее... Мы можем заметить, что остатки повторяются чередующимся образом: 9, 1, 9, 1, и так далее. Это связано с периодом повторения остатков для чисел, которые не имеют общих делителей с модулем (в данном случае, 10).

   Таким образом, 9^1972 ≡ 9 (mod 10), так как 1972 делится на 2 (1972 = 2 * 986), и остаток равен 9.

2. Найдем остаток 7^1972 при делении на 10: Аналогично, остатки 7^1, 7^2, 7^3, и т.д. также будут повторяться, но они начинаются с 7 и 9.

   7^1 ≡ 7 (mod 10) 7^2 ≡ 49 (mod 10) (остаток 9) 7^3 ≡ 343 (mod 10) (остаток 3) 7^4 ≡ 2401 (mod 10) (остаток 1) 7^5 ≡ 16807 (mod 10) (остаток 7) и так далее... Мы можем заметить, что остатки повторяются чередующимся образом: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, и так далее.

   Таким образом, 7^1972 ≡ 9 (mod 10), так как 1972 делится на 4 (1972 = 4 * 493), и остаток равен 9.

Теперь найдем разность остатков:

9^1972 – 7^1972 ≡ 9 - 9 ≡ 0 (mod 10)

Таким образом, остаток от деления 9^1972 – 7^1972 на 10 равен 0.