Question

Докажите тождество(tg a-sin a)(cos^2/sin a +ctg a)=sin^2 a

Answer 1

Sin a*cos a(tg a-ctg(-a))=sin^2a+cos^2a

1)tg a+ctga=sin a/cos a+cos a/sin a

приведем к общему знаменателю

sin^2a+cos^2a/sina*cos a

2)sin a cos a*sin^2a+cos^2a/sin a cos a

сокращаем sin a cos a получаем

=sin^2a+cos^2a или (sin a +cos a)(sin a + cos a)

^- это степень

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее к правой стороне:

Исходное тождество: (tg a - sin a)(cos^2 a / sin a + ctg a) = sin^2 a

1. Раскроем скобки:

(tg a)(cos^2 a / sin a) + ctg a(tg a) - sin a(cos^2 a / sin a) - sin a(ctg a)

2. Упростим:

tg a * (cos^2 a / sin a) = (sin^2 a / cos a) * (cos^2 a / sin a) = sin^2 a

ctg a * (tg a) = 1

-sin a * (cos^2 a / sin a) = -cos^2 a

-sin a * (ctg a) = -cos a

3. Теперь заменим в исходной формуле и упростим:

sin^2 a + 1 - cos^2 a - cos a

4. Используем тригонометрическое тождество sin^2 a + cos^2 a = 1:

1 + 1 - cos^2 a - cos a = 1 - cos^2 a - cos a

5. Применим еще одно тригонометрическое тождество cos^2 a = 1 - sin^2 a:

1 - (1 - sin^2 a) - cos a = 1 - 1 + sin^2 a - cos a

6. Упростим:

sin^2 a - cos a

7. Используем тригонометрическое тождество sin a = sin a:

sin^2 a - cos a = sin^2 a

Таким образом, левая сторона равна правой стороне, что и требовалось доказать.