Question

Число xyzt — точный квадрат и такое, что число tzyx и частное от деления числа xyzt на число tzyx являются точными квадратами. Найти число xyzt .

Answer 1

xyzt - натуральное число

tzyx - точный квадрат

xyzt/tzyx - точный квадрат

xyzt = 9801 (99²)

tzyx = 1089 (33²)

9801÷1089 = 9 (3²)

Answer 2

Давайте предположим, что каждая из букв x, y, z и t представляет одну цифру (от 0 до 9). Поскольку мы ищем число xyzt, которое является точным квадратом, мы знаем, что оно должно быть квадратом некоторого числа вида aabb (например, 1122, 2233, 3344 и т.д., где a и b - различные цифры).

Пусть число xyzt равно aabb, тогда:

xyzt = 1000a + 100a + 10b + b = 1001a + 11b = 11(91a + b).

Теперь давайте рассмотрим число tzyx:

tzyx = 1000t + 100z + 10y + x = 1000t + 100z + 10y + aabb.

Теперь нам нужно, чтобы tzyx было квадратом, то есть оно должно иметь вид ccdd (например, 121, 484, 676 и т.д., где c и d - различные цифры).

Из этого следует:

tzyx = ccdd = 1000c + 100c + 10d + d = 1100c + 11d = 11(100c + d).

Теперь мы знаем, что tzyx также делится на 11, поэтому и (100c + d) должно делиться на 11.

Поскольку c и d - различные цифры, c и d могут быть только 1 и 4 (так как только 14 и 41 - две различные комбинации). Таким образом, tzyx может быть только 121 (11 * 11) или 484 (22 * 22).

Теперь давайте рассмотрим деление xyzt на tzyx:

xyzt / tzyx = (11(91a + b)) / tzyx.

Теперь, если xyzt / tzyx - точный квадрат, это означает, что 91a + b также должно делиться на tzyx (121 или 484).

Для tzyx = 121: Попробуем различные значения b (так как a и b - различные цифры, b не может быть равно 0): b = 1: 91a + 1 не делится на 121. b = 2: 91a + 2 не делится на 121. ... b = 9: 91a + 9 не делится на 121. Таким образом, для tzyx = 121 подходящего значения xyzt не существует.

Для tzyx = 484: Попробуем различные значения b (b не может быть равно 0): b = 1: 91a + 1 делится на 484 при a = 4 (494 / 484 = 1). Таким образом, для tzyx = 484, xyzt = 4414 (11 * 401) является подходящим числом.

Итак, число xyzt = 4414.