Question

Решите уравнения: 1)3х3-12х=0 2)49х3+14х2+х=0 3)х3-5х2-х+5=0

Answer 1

1) 3x(x²-4)=0

3x(x-2)(x+2)=0

x1=0,   x2= 2,    x3= -2

2) x(49x²+14x+1)=0

x(7x+1)²=0

x1= 0,     x2= -1/7

3) x(x²-1)-5(x²-1)=0

(x-5)(x²-1)=0

(x-5)(x-1)(x+1)=0

x1= 5,   x2=1,     x3= -1

Answer 2

Для решения кубических уравнений вида ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 можно воспользоваться различными методами, например, методом графиков или методом Ньютона. Однако, наиболее популярным и простым методом является метод подстановки, когда мы ищем корни, подставляя различные значения x и проверяя, равенство нулю уравнения.

Давайте решим каждое уравнение:

1. 3x^3 - 12x = 0

Вынесем общий множитель:

3x(x^2 - 4) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

1. x = 0
2. x^2 - 4 = 0

Для второго множителя найдем корни:

x^2 - 4 = 0 (x + 2)(x - 2) = 0

Таким образом, уравнение имеет три корня:

x = 0, x = 2 и x = -2.

2. 49x^3 + 14x^2 + x = 0

Здесь сложнее выделить общие множители. Мы можем попробовать применить метод графиков или численные методы для нахождения корней, но предположим, что здесь есть целочисленные корни.

Один из методов нахождения корней многочлена — использование рациональных корней (теорема о рациональных корнях). В этом случае, возможные рациональные корни данного уравнения будут делящимися нацело числителя (1) и знаменателя (49). Таким образом, мы можем пробовать значения x = ±1, ±7.

Проверим каждое из этих значений:

a) При x = 1:

49 * 1^3 + 14 * 1^2 + 1 = 49 + 14 + 1 = 64 (не равно 0)

б) При x = -1:

49 * (-1)^3 + 14 * (-1)^2 - 1 = -49 + 14 - 1 = -36 (не равно 0)

в) При x = 7:

49 * 7^3 + 14 * 7^2 + 7 = 16807 + 686 + 7 = 17500 (не равно 0)

г) При x = -7:

49 * (-7)^3 + 14 * (-7)^2 - 7 = -16807 + 686 - 7 = -16128 (не равно 0)

Таким образом, наши предположения о рациональных корнях были неверными.

3. x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0

Вновь, здесь сложнее выделить общие множители, поэтому применим метод подстановки.

Попробуем x = 1:

1^3 - 5 * 1^2 - 1 + 5 = 1 - 5 - 1 + 5 = 0

Мы нашли один корень: x = 1.

Теперь, чтобы решить кубическое уравнение полностью, нам нужно разделить его на (x - 1) (поскольку x = 1 - корень) и решить квадратное уравнение.

Деление даёт нам:

(x^3 - 5x^2 - x + 5) / (x - 1) = x^2 - 4x + 5

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 4x + 5 = 0.

Дискриминант D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Поскольку дискриминант отрицательный, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, у исходного кубического уравнения два комплексных корня, а один действительный корень: x = 1.