Question

Тема: «Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения многочлена на множители» Вариант 1. 1.Разложите на множители: 1) a3 + 8b3(степень) 2) x2y – 36 y3(степень) 3) -5 m2(степень) + 10mn+5n2(степень) 4) 4ab – 28b + 8a – 56 5) a4(степень) – 81 2. Упростите выражение: а(а+2)(а – 2) – (а – 3)(а2 + 3а +9) 3. Разложите на множители: 1) х – 3у + х2(степень) – 9у2(степень) 2) 9m2(степень) + 6mn +n2(степень) – 25 3) ab5(степень) – b5(степень) – ab3(степень) +b3(степень) 4) 1 – x2(степень) +10 xy – 25y2(степень) 4. Решите уравнение: 1) 3х3(степень) – 12х=0 2) 49х3(степень) +14х2(степень) +х=0 3) х3(степень) – 5х2(степень) – х +5=0 5. Докажите, что значение выражение 36 +53 делится нацело на 14. 6. Известно, что a – b = 6, ab=5. Найдите значение выражения (a+b)2(степень) есть только ответы на ВТОРОЙ ВАРИАНТ

Answer 1

1) a³ + 8b³=a³+(2b)³=(a+b)(a²-ab+b²)

2) x²y – 36y³=y(x²- (6y)²)=y(x-6y)(x+6y)

3) -5m² + 10mn + 5n²=-5(m²-2mn-n²)

Возможно ошибка в условии:

5m² + 10mn + 5n²=5(m²+2mn+n²)=5(m+n)²

4) 4ab – 28b + 8a – 56=4b(a-7)+8(a-7)=(4b+8)(a-7)=4(b+2)(a-7)

5) a⁴ – 81=a⁴-3⁴=(a²-3²)(a²+3²)=(a-3)(a+3)(a+9)

2. Упростите выражение:

а(а+2)(а – 2) – (а – 3)(а2 + 3а +9)=a(a²-4)-(a³-3³)=a³-4a²-a³+27=-4a²+27

3. Разложите на множители:

1) х – 3у + х² – 9у²=(x-3y)+(x-3y)(x-3y)=(x-3y)(x+3y+1)

2) 9m² + 6mn +n² – 25=(3m+n)²-5²=(3m+n-5)(3m+n+5)

3) ab⁵ – b⁵ – ab³ +b³=b⁵(a-1)-b³(a-1)=b³(b²-1)(a-1)=b³(b-1)(b+1)(a-1)

4) 1 – x² +10 xy – 25y²=1-(x²-10xy+25y²)=1²-(x-5y)²=(1-x+5y)(1+x-5y)

4. Решите уравнение:

1) 3х³–12х=0

3x²(x-4)=0

x₁=0

x-4=0

x₂=4

2) 49х³ +14х² +х=0

x((7x)²+14x+1)=0

x(7x+1)=0

x₁=0

7x+1=0

7x=-1

x₂=-1/7

3) х³ – 5х²–х +5=0

x(x²-1)-5(x²-1)=0

(x-5)(x²-1)=0

(x-5)(x-1)(x+1)=0

x-5=0

x₁=5

x-1=0

x₂=1

x+1=0

x=-1

5. Докажите, что значение выражение 36 +53 делится нацело на 14.

36+53=(14*2+8)+(14*3+11)=14*5+19=14*6+5 на 14 не делиться

Или проще:

36+53=89 нечетное на 14 (четное) нацело делиться не может

6. Известно, что a – b = 6, ab=5. Найдите значение выражения (a+b)²

(a+b)²=a²+2ab+b²=(a²-2ab+b²)+4ab=(a-b)²+4ab=6²+4*5=36+20=56

Answer 2

Второй вариант:

1. Разложение на множители:

   1. $a^3 + 8b^3$ Данное выражение является суммой кубов $a^3 + (2b)^3$, и можно использовать формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Применяя это к нашему выражению: $a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

   2. $x^2y - 36y^3$ Общий множитель у данных членов - $y$, поэтому можно вынести его за скобку: $x^2y - 36y^3 = y(x^2 - 36y^2)$ Затем можно применить формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$: $x^2y - 36y^3 = y(x + 6y)(x - 6y)$

   3. $-5m^2 + 10mn + 5n^2$ В данном выражении можно вынести общий множитель -5: $-5m^2 + 10mn + 5n^2 = 5(-m^2 + 2mn + n^2)$ Теперь это является разностью квадратов, применяем формулу $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$: $-5m^2 + 10mn + 5n^2 = 5(m - n)^2$

   4. $4ab - 28b + 8a - 56$ Группируем члены: $4ab - 28b + 8a - 56 = 4ab + 8a - 28b - 56$ Выносим общие множители: $4ab + 8a - 28b - 56 = 4a(b + 2) - 28(b + 2)$ После этого можно снова использовать формулу разности квадратов: $4ab + 8a - 28b - 56 = (4a - 28)(b + 2) = 4(a - 7)(b + 2)$

   5. $a^4 - 81$ Данное выражение является разностью квадратов $a^4 - 9^2$: $a^4 - 81 = (a^2 + 9)(a^2 - 9) = (a^2 + 9)(a + 3)(a - 3)$

2. Упрощение выражения: $a(a + 2)(a - 2) - (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

   Раскроем скобки и упростим: $a(a^2 - 2a + 2a - 4) - (a^3 - 3a^2 + 9a - 3a^2 + 9a - 27)$ $a(a^2 - 4) - (a^3 - 6a^2 + 18a - 27)$