Question

Здравствуйте, помогите решить систему тригонометрических уравнений: cosx+cosy=cos pi/8; x+y=pi/4 ( pi это число Пи)

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Здравствуйте!

Давайте решим систему тригонометрических уравнений:

1. cos(x) + cos(y) = cos(π/8)
2. x + y = π/4

Для удобства заменим углы x и y следующим образом:

u = x + y v = x - y

Теперь можем переписать систему уравнений через u и v:

1. cos((u + v)/2) + cos((u - v)/2) = cos(π/8)
2. u = π/4

Теперь, зная, что cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) и cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b), мы можем переписать первое уравнение:

cos(u/2)*cos(v/2) - sin(u/2)*sin(v/2) + cos(u/2)*cos(v/2) + sin(u/2)*sin(v/2) = cos(π/8)

Сокращаем:

2*cos(u/2)*cos(v/2) = cos(π/8)

Теперь можем выразить cos(u/2) и cos(v/2) через известные нам углы:

cos(π/4) = cos(u/2 + v/2) = cos(u/2)*cos(v/2) - sin(u/2)*sin(v/2)

Мы также знаем, что cos(π/4) = 1/√2, поэтому:

2*(1/√2) = cos(π/8)

Отсюда находим:

√2 = cos(π/8)

Теперь, чтобы найти u/2 и v/2, мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(2a) = 2*cos^2(a) - 1:

cos(π/4) = cos(u/2 + v/2) = 2*cos^2(u/2) - 1

Подставляем известное значение cos(π/4) = 1/√2:

1/√2 = 2*cos^2(u/2) - 1

Теперь решаем уравнение относительно cos(u/2):

2*cos^2(u/2) = 1 + 1/√2

cos^2(u/2) = (2 + √2)/2

cos(u/2) = ±√((2 + √2)/2)

cos(u/2) = ±√((2 + √2)/2)

Так как 0 ≤ u/2 ≤ π/4 (из второго уравнения), то cos(u/2) должен быть положительным, поэтому:

cos(u/2) = √((2 + √2)/2)

Теперь найдем u, используя u = π/4:

u = π/4

Теперь, когда мы нашли значение u, мы можем найти значение v, используя уравнение v = x - y:

v = x - y = π/4 - π/4 = 0

Теперь у нас есть значения u и v. Чтобы найти x и y, мы можем использовать следующие формулы:

x = (u + v)/2 = (π/4 + 0)/2 = π/8

y = (u - v)/2 = (π/4 - 0)/2 = π/8

Таким образом, решение системы тригонометрических уравнений:

x = π/8 y = π/8