Question

Определённый интеграл. как это решается через арк синус?

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

                              Решение : /////////////////////////////

Answer 3

Для вычисления определенного интеграла с использованием арксинуса, предположим, что у нас есть следующий интеграл:

$I = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b^2 - x^2}} dx$

Чтобы решить этот интеграл с помощью арксинуса, мы можем сделать следующую замену:

$x = b \sin(t)$

где $t$ - новая переменная интегрирования, а $\sin(t)$ - обратная функция арксинуса. Тогда $dx = b \cos(t) dt$.

Теперь определим новые пределы интегрирования при $x = a$ и $x = b$:

Когда $x = a$: $t = \arcsin\left(\frac{a}{b}\right)$

Когда $x = b$: $t = \arcsin\left(\frac{b}{b}\right) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$

Теперь подставим новые пределы и выражение для $dx$ в наш интеграл:

$I = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{b^2 - x^2}} dx = \int_{\arcsin\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{b^2 - (b \sin(t))^2}} \cdot b \cos(t) dt$

Упростим подынтегральное выражение:

$I = \int_{\arcsin\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{b \cos(t)}{\sqrt{b^2 - b^2 \sin^2(t)}} dt = \int_{\arcsin\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{b \cos(t)}{\sqrt{b^2(1 - \sin^2(t))}} dt$

Так как $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)}$, мы можем упростить дальше:

$I = \int_{\arcsin\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{b \cos(t)}{\sqrt{b^2(1 - \sin^2(t))}} dt = \int_{\arcsin\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{b \cos(t)}{\sqrt{b^2 \cos^2(t)}} dt$