Question

Упростите: кос2альфа деленое на косальфа минус синус альфа косинус альфа деленое на косинусальфа делное на 2 минус синус альфа деленое на 2 Докажите тождества:(синус альфа деленое на два минус косинус альфа деленое на 2)в квадате равняется 1 минус синус альфасинус^4альфа минус косинус^4альфа равнятеся минус косинус2альфа

Answer 1

так понятно написано прям ваще

 

 

Answer 2

Для начала, мы можем упростить данное выражение:

$\frac{\cos^2\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

Упрощаем числитель первого слагаемого, используя тригонометрическую тождества:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

$\frac{1 - \sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{1}{\cos\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{1 - \sin^2\alpha - \sin\alpha \cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{1 - \sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{1 - \sin\alpha\cos\alpha - \sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

Теперь мы можем упростить числитель первого слагаемого дальше, используя тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\frac{1 - \sin\alpha\cos\alpha - (1 - \cos^2\alpha)}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{1 - \sin\alpha\cos\alpha - 1 + \cos^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{2\cos^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

Теперь мы можем упростить дроби, упрощая числитель и знаменатель:

$2\cos\alpha - \sin\alpha + \frac{\cos\alpha}{2} - \frac{\sin\alpha}{2}$

$\frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha}{2}$

$\frac{5\cos\alpha - 3\sin\alpha}{2}$

Таким образом, мы получаем упрощенное выражение $\frac{5\cos\alpha - 3\sin\alpha}{2}$.

Доказательство тождества (синус альфа, деленное на два, минус косинус альфа, деленное на два) в квадрате равняется 1 минус синус альфа в квадрате:

Для доказательства этого тождества, мы можем начать с левой стороны и постепенно приводить ее к правой стороне:

$(\frac{\sin\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{2})^2$

$(\frac{\sin^2\alpha}{4} - \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{2} + \frac{\cos^2\alpha}{4})$

$\frac{\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha}{4}$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha}{4}$

$\frac{1 - \sin\alpha\cos\alpha}{2}$

Теперь мы можем упростить числитель, используя тождество $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$:

$\frac{1 - \frac{\sin 2\alpha}{2}}{2}$

$\frac{2 - \sin 2\alpha}{4}$

$\frac{2}{4} - \frac{\sin 2\alpha}{4}$

$\frac{1}{2} - \frac{\sin 2\alpha}{4}$

$\frac{2 - \sin 2\alpha}{4}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{\sin\alpha}{2} - \frac{\cos\alpha}{2}$ в квадрате равняется $1 - \sin\alpha$ в квадрате.