Question

сумма первых четырех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 15, а сумма последующих четырех членов равна 240. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.​

Answer 1

63. Решение задания приложено

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда первые четыре члена прогрессии можно записать как: а, аq, аq^2, аq^3. И их сумма равна 15, поэтому:

а + аq + аq^2 + аq^3 = 15

Затем, следующие четыре члена прогрессии можно записать как: аq^4, аq^5, аq^6, аq^7. И их сумма равна 240, поэтому:

аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7 = 240

Теперь нам нужно найти сумму первых шести членов этой прогрессии, то есть:

S6 = а + аq + аq^2 + аq^3 + аq^4 + аq^5

Мы можем использовать знания о сумме геометрической прогрессии для этого.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q вычисляется по формуле:

S_n = а * (q^n - 1) / (q - 1)

Таким образом, S6 будет равна:

S6 = а * (q^6 - 1) / (q - 1)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. а + аq + аq^2 + аq^3 = 15
2. аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7 = 240

Мы также можем использовать сумму первых четырех членов геометрической прогрессии, чтобы переписать уравнение (1):

15 = а * (q^4 - 1) / (q - 1)

Теперь давайте решим эту систему уравнений:

1. 15 = а * (q^4 - 1) / (q - 1)

Перепишем уравнение (2) в терминах а:

2. 240 = аq^4 * (1 + q + q^2 + q^3)

Теперь подставим значение а из уравнения (1) в уравнение (2):

240 = (15 * q) * (1 + q + q^2 + q^3)

240 = 15q * (q^3 + 1 + q + q^2)

240 = 15q * (q^3 + q^2 + q + 1)

240 = 15q * [(q^2 + q) + (q + 1)]

Теперь мы заметим, что q^2 + q является суммой первых двух членов геометрической прогрессии с знаменателем q:

q^2 + q = аq + а

Подставим это обратно в уравнение:

240 = 15q * [(aq + а) + (q + 1)]

240 = 15q * [а(q + 1) + (q + 1)]

Теперь можно сократить общий множитель (q + 1):

240 = 15q * (а + q + 1)

Разделим обе стороны на 15:

16 = q * (а + q + 1)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 15 = а * (q^4 - 1) / (q - 1)
2. 16 = q * (а + q + 1)

Мы можем решить эту систему численно или методом подбора, чтобы найти значения а и q. Однако, без конкретных числовых значений, я не могу выполнить точные вычисления.

Когда у вас будут численные значения для сумм первых четырех и последующих четырех членов прогрессии, вы сможете решить систему уравнений и найти значения а и q. Затем, подставив эти значения в формулу для S6, вы сможете найти сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии.