Question

Доведіть що при всіх значеннях змінниї є правильною нерівність a*2+b*2+6a-4b+13≥0

Answer 1

на фото...............

Answer 2

Щоб довести, що нерівність a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 ≥ 0 є правильною для всіх значень змінних a і b, ми можемо скористатися методом повного квадрату.

1. Перетворимо перші два доданки a^2 + b^2 у квадратичний вираз: a^2 + b^2 = (a^2 + 6a) + (b^2 - 4b).
2. Тепер замінимо кожен квадратичний вираз з пункту 1 на його еквівалентний вираз з методу повного квадрату, додавши і віднімаючи певні вирази: a^2 + 6a = (a^2 + 6a + 9) - 9, аналогічно, b^2 - 4b = (b^2 - 4b + 4) - 4.
3. Підставимо знайдені еквівалентні вирази назад в нерівність: (a^2 + 6a + 9) - 9 + (b^2 - 4b + 4) - 4 + 13 ≥ 0.
4. Просумуємо вирази в дужках: (a^2 + 6a + 9 + b^2 - 4b + 4) - 9 - 4 + 13 ≥ 0.
5. Спростимо вираз у дужках: (a + 3)^2 + (b - 2)^2 - 9 - 4 + 13 ≥ 0.
6. Підсумуємо константи: (a + 3)^2 + (b - 2)^2 ≥ 8.

Отриману нерівність (a + 3)^2 + (b - 2)^2 ≥ 8 можна інтерпретувати як суму двох квадратів, і вона буде правильною для всіх значень змінних a і b. Для довільної дійсної змінної x, якщо x^2 ≥ 0, то x^2 завжди буде більше або дорівнюватиме нулю. Таким чином, нерівність (a + 3)^2 + (b - 2)^2 ≥ 8 буде виконуватися для всіх значень a і b, що є дійсними числами.