Question

Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильною нерівність: a*2+b*2-16a+14b+114>0 x*2+y*2+10>=6x-2y c*2+5d*2+4cd-4d+4>=0 a*2+b*2+c*2>= 2(a+b+c)-3

Answer 1

ответ на фото\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

а² + в² - 16а + 14в + 114 > 0,

(раскладываем 114  на сумму  64+49+1 = 8²+7²+1),

(а² - 16а + 64) + (в² + 14в + 49) + 1 > 0,

(а - 8)² + (в + 7)² + 1 > 0,

(а - 8)² ≥,  (в + 7)² ≥ 0,  1 > 0,

так как квадрат любого числа всегда больше нуля, то:

значение выражения будет больше нуля,

х² + у² + 10 ≥ 6х - 2у,

х² + у² + 10 - 6х + 2у ≥ 0,

(раскладываем 10  на сумму  9 + 1 = 3²+1²),

(х² - 6х + 9) + (у² + 2у + 1) ≥ 0,

(х - 3)² + (у + 1)² ≥ 0,

(х - 3)² ≥ 0,   (у + 1)² ≥ 0,

так как квадрат числа всегда больше, либо равен нулю, то значение выражения будет больше, либо равно нулю,

с² + 5d² + 4сd - 4d + 4 ≥ 0,

(раскладываем 5d² на сумму  4d²+d²),

(с² + 4сd + 4d²) + (d² - 4d + 4) ≥ 0,

(с + 2d)² + (d - 2)² ≥ 0,

(с + 2d)² ≥ 0,   (d - 2)² ≥ 0,

так как квадрат числа всегда больше, либо равен нулю, то значение выражения будет больше, либо равно нулю,

а² + в² + с² ≥ 2*(а + в + с) - 3,

а² + в² + с² - 2*(а + в + с) + 3 ≥ 0,

а² + в² + с² - 2а - 2в - 3с + 3 ≥ 0,

(раскладываеи 3 как сумму  1 + 1 + 1 = 1² + 1² + 1²)

(а² - 2а + 1) + (в² - 2в + 1) + (с² - 2с + 1) ≥ ,

(а - 1)² + (в - 1)² + (с - 1)² ≥ 0,

(а - 1)² ≥ 0,   (в - 1)² ≥ 0,  (с - 1)² ≥ 0,

так как квадрат числа всегда больше, либо равен нулю, то значение выражения будет больше, либо равно нулю

Answer 3

Для доведення кожної нерівності роздільно розглянемо кожну з них:

1. a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0: Для початку, давайте перепишемо цю нерівність, щоб об'єднати схожі члени: a^2 - 16a + b^2 + 14b + 114 > 0

   Тепер, давайте використаємо метод завершення квадрату для частини, що залежить від 'a': a^2 - 16a + 64 + b^2 + 14b + 114 - 64 > 0 (a^2 - 16a + 64) + (b^2 + 14b + 114 - 64) > 0 (a - 8)^2 + (b + 7)^2 > 0

   Квадрат кожного дійсного числа є невід'ємним, із дорівнює нулю, тільки коли саме число рівне нулю. Таким чином, вираз (a - 8)^2 завжди буде невід'ємним, окрім випадку, коли a = 8 (тоді дорівнює нулю). Те саме стосується і виразу (b + 7)^2, який дорівнює нулю тільки при b = -7. Отже, ці вирази завжди будуть додатніми (або рівними нулю) для всіх значень 'a' та 'b'. Таким чином, нерівність (a - 8)^2 + (b + 7)^2 > 0 справедлива для всіх значень 'a' та 'b'.

2. x^2 + y^2 + 10 >= 6x - 2y: Перенесемо всі члени в одну частину нерівності: x^2 - 6x + y^2 + 2y + 10 >= 0

   Знову застосуємо метод завершення квадрату: (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) + 10 - 9 - 1 >= 0 (x - 3)^2 + (y + 1)^2 >= 0

   Знову ж таки, квадрат будь-якого дійсного числа є невід'ємним, або дорівнює нулю, тому вирази (x - 3)^2 та (y + 1)^2 завжди будуть додатніми (або рівними нулю) для всіх значень 'x' та 'y'. Отже, нерівність (x - 3)^2 + (y + 1)^2 >= 0 справедлива для всіх значень 'x' та 'y'.

3. c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 >= 0: Давайте спробуємо перетворити цю нерівність: c^2 + 4cd + 5d^2 - 4d + 4 >= 0

   Тепер спробуємо розділити квадратний тричлен на два квадратні тричлени: c^2 + 4cd + 4d^2 + d^2 - 4d + 4 >= 0

   За допомогою методу завершення квадрату перетворимо перший тричлен: (c + 2d)^2 + d^2 - 4d + 4 >= 0

   Залишаємо вираз, який залежить від 'd' в одній дужці: (c + 2d)^2 + (d^2 - 4d + 4) >= 0

   Знову ж таки, квадрат будь-якого дійсного числа є невід'ємним, або дорівнює нулю. Таким чином, вираз (c + 2d)^2 завжди буде невід'ємним для будь-яких значень 'c' та 'd'. А вираз (d^2 - 4d + 4) є квадратом (d - 2)^2, який дорівнює нулю лише при d = 2. А для будь-яких інших значень 'd', вираз (d^2 - 4d + 4) буде додатнім. Таким чином, нерівність (c + 2d)^2 + (d^2 - 4d + 4) >= 0 справедлива для всіх значень 'c' та 'd'.

4. a^2 + b^2 + c^2 >= 2(a + b + c) - 3: Перенесемо всі члени в одну частину нерівності: a^2 + b^2 + c^2 - 2(a + b + c) + 3 >= 0

   Спростимо вираз: (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) + 3 - 1 - 1 - 1 >= 0 (a - 1)^2 +