Question

Найти производную 2/x^2+x​

Answer 1

Ответ:

2/x^2 + x = 4x + 1

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2}{{x^2 + x}}$ по переменной $x$, воспользуемся правилом дифференцирования функции, состоящей из двух слагаемых и функцией в знаменателе.

Правило дифференцирования сложной функции $u(x) = u(v(x))$ по переменной $x$ выглядит так:

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{dx}}$

Также для нахождения производной функции вида $g(x) = \frac{{1}}{{f(x)}}$, можно воспользоваться правилом:

$\frac{{dg}}{{dx}} = -\frac{{1}}{{(f(x))^2}} \cdot \frac{{df}}{{dx}}$

Теперь приступим к решению:

$f(x) = \frac{2}{{x^2 + x}}$

Сначала найдем производную знаменателя:

$g(x) = x^2 + x$

$\frac{{dg}}{{dx}} = 2x + 1$

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по $x$:

$\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{2}{{x^2 + x}}\right)$

По правилу дифференцирования сложной функции:

$\frac{{df}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(2(x^2 + x)^{-1}\right)$

Используя правило дифференцирования степенной функции $u(x) = x^n$:

$\frac{{df}}{{dx}} = -2(x^2 + x)^{-2} \cdot \frac{{d}}{{dx}}(x^2 + x)$

Теперь подставим производную знаменателя и упростим:

$\frac{{df}}{{dx}} = -2(x^2 + x)^{-2} \cdot (2x + 1)$

Таким образом, производная функции $f(x) = \frac{2}{{x^2 + x}}$ по переменной $x$ равна:

$\frac{{df}}{{dx}} = -\frac{{2(2x + 1)}}{{(x^2 + x)^2}}$