Question

Вычислите подробно, пожалуйста: Tg²a + ctg²a ecли tg a + ctg a = 3Ответ должен быть 7

Answer 1

tga+ctga)^2=tg^2a+2*tga*ctga+ctg^2a=tg^2a+2+ctg^2a  

tg^2a+ctg^2a=(tga+ctga)^2-2=3^2-2=7

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся тождеством тригонометрии:

$\tan^2(a) + \cot^2(a) = (\tan(a) + \cot(a))^2 - 2\tan(a)\cot(a)$

У нас уже дано, что $\tan(a) + \cot(a) = 3$. Теперь нужно найти $\tan(a)\cot(a)$. Для этого воспользуемся другим тождеством:

$\tan(a)\cot(a) = \frac{1}{\tan(a)\cot(a)} = \frac{1}{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\cos(a)}{\sin(a)}} = \frac{1}{1} = 1$

Теперь подставим значение $\tan(a)\cot(a)$ в исходное уравнение:

$\tan^2(a) + \cot^2(a) = 3^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$

Таким образом, мы получаем, что $\tan^2(a) + \cot^2(a) = 7$, что и требовалось доказать. Ответ: 7.