Question

Способом введения новой переменной решите уравнение: (x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28

Answer 1

(x²+5x+2)(x²-5x-1) = 28
((x²-5x)+2)((x²-5x)-1) = 28
пусть: (х²-5х)=а
(а+2)(а-1)=28
а²-а+2а-2=28
а²+а-2-28=0
а²+а-30=0
По теореме Виета:
а1+а2=-1
а1×а2=-30
а1=-6
а2=5

1) (х²-5х)=а1
2) (х²-5х)=а2

1) х²-5х=-6
х²-5х+6=0
По теореме Виета:
х1+х2=-(-5)=5
х1×х2=6

х1=2
х2=3

2) (х²-5х)=5
х²-5х-5=0
D=(-(-5)²-4×1×(-5)=25+20=45

x1=(-(-5)-√45)/2×1=(5-√45)/2
x2=(-(-5)+√45)/2×1=(5+√45)/2

Ответ: данное уравнение имеет 4-е корня решения:

х=2; х=3; х=(5-√45)/2 и х=(5+√45)/2.

Answer 2

Для решения данного уравнения (x^2 - 5x + 2)(x^2 - 5x - 1) = 28, введем новую переменную, например, обозначим x^2 - 5x за t:

Пусть t = x^2 - 5x.

Теперь уравнение принимает вид: t(t - 1) = 28.

Распишем уравнение: t^2 - t - 28 = 0.

Далее решим это квадратное уравнение.

Используем квадратную формулу: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -1, c = -28.

t = (1 ± √(1 - 41(-28))) / 2*1,

t = (1 ± √(1 + 112)) / 2,

t = (1 ± √113) / 2.

Таким образом, у нас получилось два значения t:

1. t = (1 + √113) / 2,

2. t = (1 - √113) / 2.

Теперь найдем значения x:

1. t = x^2 - 5x = (1 + √113) / 2, Переносим все в левую часть: x^2 - 5x - (1 + √113) / 2 = 0.

2. t = x^2 - 5x = (1 - √113) / 2, Переносим все в левую часть: x^2 - 5x - (1 - √113) / 2 = 0.

Теперь решим оба уравнения относительно x, используя квадратную формулу:

1. x = (5 ± √(5^2 - 4*(1)((1 + √113) / 2))) / 2, x = (5 ± √(25 - 2(1 + √113))) / 2, x = (5 ± √(25 - 2 - 2√113)) / 2, x = (5 ± √(23 - 2√113)) / 2.

2. x = (5 ± √(5^2 - 4*(1)((1 - √113) / 2))) / 2, x = (5 ± √(25 - 2(1 - √113))) / 2, x = (5 ± √(25 + 2√113)) / 2.

Таким образом, получаем четыре различных значения для x:

1. x = (5 + √(23 - 2√113)) / 2,
2. x = (5 - √(23 - 2√113)) / 2,
3. x = (5 + √(25 + 2√113)) / 2,
4. x = (5 - √(25 + 2√113)) / 2.

Это четыре различных решения уравнения.