Question

Решите уравнение методом разложения на множители 1) √х⁵-3√х³-18√х=0 (2) ⁴√х⁹-2⁴√х⁵-15⁴√х=0 Решите уравнение методом введения новой переменной 3) √х²+1-2х) -6√х-1 =7 (4) √х²-4х+4)-6=5√2-х Решите уравнение, используя функционально-графические методы 5)2ˣ=6-х (6) (1/3)ˣ=х+4

Answer 1

Для каждого уравнения предложу подходящий метод решения:

1. √x⁵ - 3√x³ - 18√x = 0

Метод разложения на множители: Для решения данного уравнения воспользуемся замечанием, что все три слагаемых являются корнями уравнения. Таким образом, уравнение может быть записано в следующем виде:

√x⁵ - 3√x³ - 18√x = (√x - a)(√x - b)(√x - c) = 0,

где a, b и c - корни уравнения.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

√x - a = 0 => √x = a => x = a², √x - b = 0 => √x = b => x = b², √x - c = 0 => √x = c => x = c².

2. ⁴√x⁹ - 2⁴√x⁵ - 15⁴√x = 0

Метод разложения на множители: Для решения этого уравнения используем тот же подход. Уравнение может быть переписано следующим образом:

⁴√x⁹ - 2⁴√x⁵ - 15⁴√x = (⁴√x - a)(⁴√x - b)(⁴√x - c) = 0,

где a, b и c - корни уравнения.

Приравняем каждый множитель к нулю:

⁴√x - a = 0 => ⁴√x = a => x = a⁴, ⁴√x - b = 0 => ⁴√x = b => x = b⁴, ⁴√x - c = 0 => ⁴√x = c => x = c⁴.

3. √x²+1 - 2x - 6√x - 1 = 7

Метод введения новой переменной: Введем новую переменную: u = √x. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

u² - 2u - 6u - 1 = 7, u² - 8u - 8 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

u = (8 ± √(8² - 41(-8))) / 2, u = (8 ± √(64 + 32)) / 2, u = (8 ± √96) / 2, u = (8 ± 4√6) / 2, u = 4 ± 2√6.

Теперь найдем значения x, зная значения u:

1. u = 4 + 2√6 => √x = 4 + 2√6 => x = (4 + 2√6)² = 16 + 16√6 + 24 = 40 + 16√6,
2. u = 4 - 2√6 => √x = 4 - 2√6 => x = (4 - 2√6)² = 16 - 16√6 + 24 = 40 - 16√6.

Ответ: x = 40 + 16√6 и x = 40 - 16√6.

4. √x² - 4x + 4 - 6 = 5√2 - x

Метод введения новой переменной: Введем новую переменную: u = √x. Тогда уравнение примет вид:

u² - 4u + 4 - 6 = 5√2 - u, u² - 5u - 2 = 5√2.

5. 2ˣ = 6 - х

Функционально-графический метод: Для решения этого уравнения можно использовать график функций y = 2ˣ и y = 6 - х. Найдем точку их пересечения, которая соответствует решению уравнения:

Графически, заметим, что точка пересечения лежит вблизи x ≈ 2, а точнее, можно применить итерационные методы, чтобы приблизиться к ответу.

6. (1/3)ˣ = х + 4

Функционально-графический метод: Аналогично предыдущему уравнению, решим его графически. Найдем точку пересечения графиков функций y = (1/3)ˣ и y = х + 4:

Точка пересечения лежит вблизи x ≈ 2, опять же, можно использовать итерационные методы для более точного решения.