Question

Решить неравенство log3(x + 1) + log3 x больше или равно log3 2 + 1.

Answer 1

ОДЗ :

1) x + 1 > 0     ⇒   x > - 1

2) x > 0

$log_{3}(x+1)+log_{3}x\geq log_{3}2+1\\\\log_{3} (x(x+1)) \geq log_{3}2+log_{3}3\\\\log_{3}(x(x+1))\geq log_{3}6\\\\x(x+1)\geq 6\\\\x^{2} +x-6\geq 0\\\\(x+3)(x-2)\geq 0$

     +                         -                        +

________[-3]__________[2]_________

////////////////                           /////////////////////

Так как x > 0 , то ответ : x ∈ [2 ; + ∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы должны использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. В данном случае, мы будем использовать правило логарифма суммы, которое гласит:

logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c).

Также, правило логарифма числа, которое гласит:

logₐ(a) = 1.

Теперь, применяем эти правила к исходному неравенству:

log₃(x + 1) + log₃(x) ≥ log₃(2) + 1.

Сначала объединим логарифмы по правилу логарифма суммы:

log₃((x + 1) * x) ≥ log₃(2) + 1.

Теперь упростим правую сторону:

log₃(x² + x) ≥ log₃(2) + 1.

Далее, применим обратное правило логарифма, чтобы избавиться от логарифма на левой стороне:

x² + x ≥ 2³ * 3¹.

Теперь упростим выражение:

x² + x ≥ 8 * 3.

x² + x ≥ 24.

Теперь приведем неравенство в стандартную форму, где одна сторона равна нулю:

x² + x - 24 ≥ 0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 1, c = -24.

x = (-(1) ± √((1)² - 4 * 1 * (-24))) / 2 * 1,

x = (-1 ± √(1 + 96)) / 2,

x = (-1 ± √97) / 2.

Таким образом, у нас есть два решения:

x₁ = (-1 + √97) / 2 ≈ 3.21, x₂ = (-1 - √97) / 2 ≈ -4.21.

Однако, логарифм определен только для положительных значений, поэтому решением неравенства будет x₁:

x ≥ 3.21.

Итак, ответ: x должно быть больше или равно 3.21.