Question

Корень из 2х+1 - корень из х-3 = корень из х+1

Answer 1

$\sqrt{2x+1}- \sqrt{x-3}= \sqrt{x+1}$

Возводим обе части уравнения в квадрат

$(\sqrt{2x+1}- \sqrt{x-3})^2= (\sqrt{x+1})^2$

Применяем формулу сокращенного умножения

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$2x+1-2(\sqrt{2x+1} \sqrt{x-3} )+x-3=x+1\\3x-2-2(\sqrt{(2x+1)(x-3)}=x+1\\ 3x-2-x-1-2(\sqrt{2x^2-6x+x-3)} =0\\2x-3=2(\sqrt{2x^2-6x+x-3)}$

Снова возводим в квадрат обе части. Переносим все в одну сторону, приводим подобные слагаемые. Решаем квадратное уравнение.

$(2x-3)^2=(2(\sqrt{2x^2-6x+x-3)})^2\\4x^2-12x+9=4(2x^2-5x-3)\\4x^2-12x+9=8x^2-20x-12\\4x^2-8x^2-12x+20x+9+12=0\\-4x^2+8x+21=0\\4x^2-8x-21=0\\D=64+4*4*21=400\\x_1=\frac{8+20}{8} =3,5\\x_2=\frac{8-20}{8} =-1,5$

$x=-1,5$ не подходит, поскольку не входит в область допустимых значений. Он сделает подкоренное выражение отрицательным. Это ошибка.

Ответ: 3,5

Answer 2

Для решения уравнения, содержащего корни, следует следовать определенным шагам. Давайте решим данное уравнение по порядку:

Уравнение: √(2x + 1) - √(x - 3) = √(x + 1)

Шаг 1: Избавимся от корней, перенося один корень на другую сторону уравнения.

√(2x + 1) = √(x + 1) + √(x - 3)

Шаг 2: Избавимся от корней еще больше, возведя обе части уравнения в квадрат.

(√(2x + 1))^2 = (√(x + 1) + √(x - 3))^2

Шаг 3: Упростим квадраты на обеих сторонах.

2x + 1 = (x + 1) + 2√((x + 1)(x - 3)) + (x - 3)

Шаг 4: Выразим корень из произведения (x + 1)(x - 3) и упростим выражение.

2x + 1 = x + 1 + 2√(x^2 - 2x - 3)

Шаг 5: Перенесем все переменные на одну сторону уравнения, а корень оставим на другой.

2x - x + 1 - 1 = 2√(x^2 - 2x - 3)

Шаг 6: Упростим выражение слева и сократим.

x = 2√(x^2 - 2x - 3)

Шаг 7: Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня.

x^2 = 4(x^2 - 2x - 3)

Шаг 8: Раскрываем скобки.

x^2 = 4x^2 - 8x - 12

Шаг 9: Переносим все члены уравнения на одну сторону.

0 = 3x^2 - 8x - 12

Шаг 10: Проверяем, можно ли решить данное уравнение.

Для решения квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, используем дискриминант: D = b^2 - 4ac.

D = (-8)^2 - 4 * 3 * (-12) = 64 + 144 = 208

Дискриминант D > 0, поэтому уравнение имеет два различных вещественных корня.

Шаг 11: Найдем корни уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.

x₁ = (8 + √208) / (2 * 3) ≈ (8 + 4√13) / 6 ≈ (4 + 2√13) / 3

x₂ = (8 - √208) / (2 * 3) ≈ (8 - 4√13) / 6 ≈ (4 - 2√13) / 3

Таким образом, решением данного уравнения являются два значения: x ≈ (4 + 2√13) / 3 и x ≈ (4 - 2√13) / 3.