Question

Как доказать что сумма 3 корней иррациональная??

Answer 1

В такой формулировке утверждение доказать нельзя. Более того, несложно привести контрпример:

$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{-54}=\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}=0$

Answer 2

Для того чтобы доказать, что сумма трех корней иррациональна, предположим обратное: допустим, что сумма трех корней является рациональным числом. Пусть корни обозначаются как a, b и c, и предположим, что их сумма a + b + c равна рациональному числу.

Теперь давайте рассмотрим сумму двух корней: a + b. Если a + b также является рациональным числом, то разность (a + b + c) - (a + b) = c также будет рациональным числом, так как разность рациональных чисел также является рациональным числом.

Таким образом, если предположение о том, что сумма трех корней является рациональным числом, верно, то получаем, что один из корней (c) также является рациональным числом.

Однако это противоречит предположению, что все три корня являются иррациональными. Таким образом, наше исходное предположение неверно, и сумма трех корней не может быть рациональным числом. Следовательно, сумма трех корней обязательно является иррациональным числом.