Question

Найдите точку максимума функции у=5+18х-4х^3/2

Answer 1

$\displaystyle y=5+18x-4x^{\dfrac32}\\y'=5'+(18x)'-\bigg( 4x^{\dfrac32} \bigg) '=0+18-\dfrac32 \cdot 4x^{\bigg( \displaystyle \dfrac32 -1\bigg) }=\\\\=18-6\sqrt x=-6(\sqrt{x}-3)$

y'=0, √(x)-3=0, x=3²=9

D(y) = (0;+∞), 9>0.

При x>9: y'<0

При 0<x<9: y'>0

Поэтому x=9 - точка максимума.

Ответ: 9.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции у=5+18х-4х^(3/2) (где x - переменная) нужно найти производную этой функции и приравнять её к нулю. Затем найденные значения x подставить во вторую производную, чтобы проверить, что это точка максимума, а не точка минимума или точка перегиба.

Шаг 1: Найдем производную функции у по x. у = 5 + 18х - 4х^(3/2) y' = d(5)/dx + d(18х)/dx - d(4х^(3/2))/dx

Для производных, используем обычные правила дифференцирования: y' = 0 + 18 - 4 * (3/2) * х^(3/2 - 1)

y' = 18 - 6х^(1/2)

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение относительно x: 18 - 6х^(1/2) = 0

Шаг 3: Найдем значение х из полученного уравнения: 6х^(1/2) = 18

x^(1/2) = 18 / 6

x^(1/2) = 3

x = 3^2

x = 9

Теперь у нас есть значение x = 9, которое соответствует точке экстремума. Чтобы узнать, является ли это точкой максимума или минимума, найдем вторую производную и подставим x = 9 в неё.

Шаг 4: Найдем вторую производную функции у по x. y'' = d(18 - 6х^(1/2))/dx

Для производной, используем правило дифференцирования сложной функции: y'' = -6 * d(х^(1/2))/dx

Теперь найдем производную х^(1/2): d(х^(1/2))/dx = (1/2) * x^(-1/2)

y'' = -6 * (1/2) * x^(-1/2)

y'' = -3 * x^(-1/2)

Шаг 5: Подставим x = 9 во вторую производную: y''(9) = -3 * 9^(-1/2) = -3 / √9 = -3 / 3 = -1

Результат второй производной y''(9) равен -1. Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что точка x = 9 является точкой максимума.

Таким образом, точка максимума функции у=5+18х-4х^(3/2) находится при x = 9, и максимальное значение функции составит:

y(9) = 5 + 18 * 9 - 4 * 9^(3/2) = 5 + 162 - 4 * 27 = 5 + 162 - 108 = 59.