Question

Побудуйте графік функції y= (x^2-4)/(x-2) (запишіть розв'язання)

Answer 1

$y=\frac{x^2-4}{x-2}\\\\x\neq 2\\\\y=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$

(2;4) - точкa незакрашеннaя

Answer 2

Для побудови графіка функції y = (x^2 - 4) / (x - 2), спочатку визначимо область визначення функції, тобто значення x, для яких функція визначена. Функція не визначена, якщо знаменник стає рівним нулю, тобто x - 2 = 0. Звідси ми знаходимо, що x ≠ 2.

Тепер перевіримо наявність вертикальних асимптот. Для цього розглянемо, як функція себе веде навколо значення x = 2. Обчислимо ліміт функції, коли x наближається до 2:

lim(x -> 2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]

Застосуємо правило Лопіталя:

lim(x -> 2) [(2x) / 1] = 4

Таким чином, існує вертикальна асимптота у точці x = 2.

Тепер знайдемо значення функції для декількох точок навколо x = 2 та кількох інших значень для побудови графіка:

1. x = 1: y = (1^2 - 4) / (1 - 2) = (1 - 4) / -1 = 3
2. x = 1.5: y = (1.5^2 - 4) / (1.5 - 2) = (2.25 - 4) / -0.5 = 1.5
3. x = 1.9: y = (1.9^2 - 4) / (1.9 - 2) = (3.61 - 4) / -0.1 = 3.9
4. x = 2.1: y = (2.1^2 - 4) / (2.1 - 2) = (4.41 - 4) / 0.1 = 4.1
5. x = 3: y = (3^2 - 4) / (3 - 2) = (9 - 4) / 1 = 5

Тепер можемо побудувати графік, використовуючи отримані значення:

luaCopy code
      |      * 
  6   |       *
      |        *
  5   |         *  
      |          *
  4   |           *       
      |            *
  3   | *            *       * 
      |   *            *   *
  2   |     *            *
      |       *
  1   |         *   *
      |           *       *   
  0   +-------------------------------
      1   2   2.5   3   4   5   6

Графік функції має вертикальну асимптоту у точці x = 2 та проходить через точку (1, 3). При наближенні x до 2, значення функції збільшується необмежено, що вказує на наявність гіперболічної асимптоти.