Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения: cos2x=-1/2

Answer 1

Найдём решение данного уравнения, а потом сделаем отбор по условию.

$\cos{2x}=-\frac{1}{2}\\2x=б(\pi-\arccos{\frac{1}{2}})+2\pi n=б(\pi-\frac{\pi}{3})+2\pi n=\\=б\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z.\\x=б\frac{\pi}{3}+\pi n, n\in Z.$

Наименьший положительный корень это 60°.

Ответ: π/3

Answer 2

Для решения уравнения cos^2(x) = -1/2, следует преобразовать его к более простому уравнению и найти корень. Начнем с использования тригонометрической тождества cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

1 - sin^2(x) = -1/2

Теперь выразим sin^2(x):

sin^2(x) = 1 + (-1/2) = 1/2

Теперь найдем sin(x):

sin(x) = ±√(1/2) = ±√2/2 = ±1/√2

Зная, что sin(π/4) = 1/√2 и sin(3π/4) = 1/√2, получим два угла, которые удовлетворяют уравнению:

1. x = π/4
2. x = 3π/4

Однако, у нас всего один интервал, где 0 < x < 2π (или 0° < x < 360°), поэтому углы, кратные 2π, не рассматриваются. Таким образом, решением уравнения cos^2(x) = -1/2 на данном интервале является:

x = π/4 ≈ 0.7854 радиан или около 45°.