Question

Разложите на множители выражение b^4-b^2-2b-1​

Answer 1

$b^4-b^2-2b-1=b^4-(b^2+2b+1)=(b^2)^2-(b+1)^2=(b^2+b+1)(b^2-b-1)$

Answer 2

Для разложения выражения $b^4 - b^2 - 2b - 1$ на множители, давайте воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Проверим, является ли выражение $b^4 - b^2 - 2b - 1$ является многочленом с рациональными коэффициентами и имеет ли рациональные корни.

Мы можем использовать рациональную теорему корней (Rational Root Theorem), которая утверждает, что если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональные корни $p/q$, где $p$ - делитель свободного члена, а $q$ - делитель старшего коэффициента, то эти рациональные корни могут быть найдены с помощью делителей свободного члена (константы) и старшего коэффициента (при $b^4$ в данном случае).

В нашем случае старший коэффициент (при $b^4$) равен 1, а свободный член (при $b^0$) равен -1.

Таким образом, возможные рациональные корни $b$ могут быть получены как делители -1: $b = \pm 1$.

Шаг 2: Подставим каждый из возможных корней и проверим, какой из них является корнем многочлена.

1. При $b = 1$: $1^4 - 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 1 - 2 - 1 = -3$

2. При $b = -1$: $(-1)^4 - (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 1 = 1 - 1 + 2 - 1 = 1$

Шаг 3: Мы видим, что $b = -1$ является корнем многочлена, так как подставив $b = -1$, мы получаем $1$ вместо $0$. Это значит, что многочлен делится на $b + 1$ без остатка.

Теперь разделим исходный многочлен на $b + 1$ используя деление многочленов.

$b^4 - b^2 - 2b - 1 : (b + 1)$

Мы получаем: $b^3 - b^2 + b - 1$

Теперь продолжим разложение нового многочлена $b^3 - b^2 + b - 1$.

Шаг 4: Попробуем найти рациональные корни нового многочлена $b^3 - b^2 + b - 1$.

Возможные рациональные корни $b$ могут быть получены как делители -1 (константы) и 1 (при $b^3$ в данном случае).

Шаг 5: Подставим каждый из возможных корней и проверим, какой из них является корнем многочлена.

1. При $b = 1$: $1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

Шаг 6: Мы видим, что $b = 1$ является корнем многочлена $b^3 - b^2 + b - 1$, так как подставив $b = 1$, мы получаем $0$ вместо $b^3 - b^2 + b - 1$. Это значит, что многочлен делится на $b - 1$ без остатка.

Теперь разделим многочлен $b^3 - b^2 + b - 1$ на $b - 1$ снова, используя деление многочленов.

$b^3 - b^2 + b - 1 : (b - 1)$

Мы получаем: $b^2 + 1$

Теперь осталось разложить $b^2 + 1$ на множители.

$b^2 + 1$ не имеет рациональных корней, и его разложение на множители выглядит так:

$b^2 + 1 = (b + i)(b - i)$

где $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$).

Таким образом, исходное выражение $b^4 - b^2 - 2b - 1$ разлагается на множители следующим образом:

$b^4 - b^2 - 2b - 1 = (b + 1)(b - 1)(b + i)(b - i)$