Question

На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом и 30% вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 шт. удовлетворяет стандарту, а из 100 шт., произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 шт. Взятая наудачу лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она произведена на первом заводе.

Answer 1

Ответ: 21/29.

Объяснение:

Событие А — лампочка окажется стандартной;

H₁ — лампочка изготовлена из первого завода;

H₂ — лампочка изготовлена из второго завода.

Из условия: P(H₁) = 70%/100% = 0.7;  P(H₂) = 30%/100% = 0.3

P(A|H₁) = 90/100 = 0.9

P(A|H₂) = 80/100 = 0.8

По формуле полной вероятности, вероятность того, что лампочка окажется стандартной равна:

P(A) = P(H₁)P(A|H₁) + P(H₂)P(A|H₂) = 0.9 * 0.7 + 0.8 * 0.3 = 0.87

По формуле Байеса, вероятность того, что стандартная лампочка изготовлена на первом заводе, равна:

$\sf P(H_1|A)=\dfrac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A)}=\dfrac{0.9\cdot0.7}{0.87}=\dfrac{21}{29}$

Answer 2

Давайте обозначим события:

• A: лампочка произведена первым заводом,
• B: лампочка произведена вторым заводом,
• S: лампочка соответствует стандарту.

Мы знаем следующие вероятности:

• P(A) = 0.7 (70% изготовлены первым заводом),
• P(B) = 0.3 (30% изготовлены вторым заводом),
• P(S|A) = 0.9 (из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 шт. удовлетворяет стандарту),
• P(S|B) = 0.8 (из каждых 100 лампочек, произведенных вторым заводом, 80 шт. удовлетворяют стандарту).

Мы хотим найти вероятность P(A|S) - вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе, при условии, что она соответствует стандарту.

Для этого мы можем использовать формулу условной вероятности:

P(A|S) = P(A ∩ S) / P(S).

Теперь найдем значения числителя и знаменателя:

1. P(A ∩ S) - вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе и соответствует стандарту.

P(A ∩ S) = P(S|A) * P(A) = 0.9 * 0.7 = 0.63.

2. P(S) - вероятность того, что лампочка соответствует стандарту (не зависит от завода производителя).

P(S) = P(S|A) * P(A) + P(S|B) * P(B) = 0.9 * 0.7 + 0.8 * 0.3 = 0.63 + 0.24 = 0.87.

Теперь можем вычислить P(A|S):

P(A|S) = P(A ∩ S) / P(S) = 0.63 / 0.87 ≈ 0.7241.

Таким образом, вероятность того, что взятая наудачу лампочка, оказавшаяся стандартной, была произведена на первом заводе, составляет приблизительно 72.41%.