Question

Исследуйте функцию: y=1/4 x^2(x-4)^2 и постройте её график

Answer 1

Исследование функций по схеме:

1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна.  Поэтому и вертикальных асимптот нет.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 0).

С осью Ох при у = 0. Надо решить уравнение (1/4) x²(x-4)² = 0.

Получаем 2 точки пересечения: х = 0, х = 4.

4. Четность, нечетность.

f(-х) = (1/4) (-x)²(-x-4)² = (1/4) x²(x+4)² ≠ f(x), ≠ -f(x).

Функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность: не периодическая.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Находим производную: y' = ((1/4) x²(x-4)²)' = ((1/4) x²(x² - 8x + 16))' =

= (1/4)*(2x*(x² - 8x + 16) + (2x-8)*x²) = (1/4)*(2x³ - 16x² + 32x + 2x³ - 8 x²) =

= (1/4)*(4x³ - 24x² + 32x) = x³ - 6x² + 8x = x(x² - 6x + 8).

Приравниваем её нулю: x(x² - 6x + 8) = 0.

От первого множителя корень х1 = 0.

x² - 6x + 8 = 0.   д = 36 - 4*8 = 4.  х2 = (6 + 2)/2 = 4, х3 = (6 - 2)/2 = 2.

Имеем 3 критических точки: х = 0, х = 2 и х = 4.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =      -1       0       1        2       3      4       5

y' =   -15      0       3 0 -3 0 15.

Видим, что при прохождении через точки х = 0 и х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 2 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.

Промежутки возрастания (y' > 0): (0; 2) ∪ (2; +∞).

Убывания: (-∞; 0) ∪ (2; 4).

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = 3x² - 12x + 8. Приравняем нулю:

3x² - 12x + 8 = 0.    Д = 144 - 4*3*8 = 144 - 96 = 48.

х1 = (12 + √48)/6 = 2 + (2√3/3) ≈ 3,1547,

х2 = (12 - √48)/6 = 2 - (2√3/3) ≈ 0,8453. Это и есть точки перегиба.

8. Наклонные асимптоты: нет.

9. Построение графика.  Таблица точек:

x y

-1.0 6.25

-0.5 1.27

0 0

0.5 0.77

1.0 2.25

1.5 3.52

2.0 4

2.5 3.52

3.0 2.25

3.5 0.77

4.0 0

4.5 1.27

5.0 6.25

Answer 2

Для исследования функции и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат.
2. Определим интервалы возрастания и убывания функции.
3. Найдем экстремумы функции (максимумы и минимумы).
4. Исследуем поведение функции в окрестности вершин.
5. Найдем точки перегиба, если они есть.
6. Нарисуем график функции.

Итак, данная функция: y = (1/4) * x^2 * (x - 4)^2

1. Точки пересечения с осями координат: Для найти точки пересечения с осью X, приравниваем y к нулю: (1/4) * x^2 * (x - 4)^2 = 0

Так как умножение не равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то имеем два возможных случая:

a) x^2 = 0 Отсюда получаем одно значение x = 0.

b) (x - 4)^2 = 0 Решая квадратное уравнение, получим x = 4.

Таким образом, точки пересечения с осью X: (0, 0) и (4, 0).

2. Интервалы возрастания и убывания: Функция меняет свой знак при пересечении оси X, так как у нас кубическая степень, которая может менять знак. Таким образом, интервалы возрастания и убывания:

-∞ < x < 0: Функция убывает. 0 < x < 4: Функция возрастает. x > 4: Функция убывает.

3. Экстремумы функции: Экстремумы - это точки максимума или минимума функции. Они могут находиться в вершинах параболы. Найдем вершину параболы, используя формулу x = -b / 2a для квадратного уравнения ax^2 + bx + c:

a = 1/4 b = -4 x_v = -(-4) / 2 * (1/4) = 4

Таким образом, вершина параболы находится в точке (4, 0).

4. Поведение функции в окрестности вершины: Чтобы понять поведение функции в окрестности вершины, рассмотрим знаки второй производной f''(x) в интервалах:

f''(x) = 2(3x^2 - 16x + 12) f''(4) = 2(34^2 - 164 + 12) = 2(48 - 64 + 12) = 2*(-4) = -8

Так как f''(4) < 0, то это означает, что в точке (4, 0) у нас есть максимум.

5. Точки перегиба: Точки перегиба возникают, когда у нас меняется выпуклость/вогнутость функции. Чтобы найти точки перегиба, ищем значения x, при которых f''(x) = 0:

2(3x^2 - 16x + 12) = 0 3x^2 - 16x + 12 = 0

Решая квадратное уравнение, получим два значения x ≈ 1.74 и x ≈ 3.26.

6. Построение графика: Теперь, когда мы собрали всю необходимую информацию, построим график функции:

(Вставка графика)