Question

Известно, что при делении на 5 число а дает остаток 3. Какой остаток получится при делении на 5 числа 2а^2-5а+4

Answer 1

Проще всего такие задачи решаются с помощью сравнений. Говорят, что a и b сравнимы по модулю n (пишут $a\equiv b (mod n)$ ), если a и b имеют одинаковые остатки при делении на n (другими словами, a-b делится на n).  Простая теорема утверждает, что сравнения можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень. Пользуясь этим, получаем;

$a\equiv 3\ (mod\ 5)\Rightarrow a^2\equiv 3^2=9\equiv 4\ (mod\ 5)\Rightarrow 2a^2\equiv 2\cdot 4=8\equiv 3\ (mod\ 5).$

Далее, $5a\equiv 0\ (mod\ 5);\ 2a^2-5a+4\equiv 3-0+4=7\equiv 2\ (mod\ 5)$

Ответ: 2

Answer 2

Для определения остатка при делении числа 2а^2 - 5а + 4 на 5, мы можем рассмотреть остатки каждого слагаемого от деления на 5 и затем сложить эти остатки.

Остаток от деления 2а^2 на 5: Поскольку 5 не делит ни 2, ни а^2 для любого значения а, остаток от деления 2а^2 на 5 всегда будет 0.

Остаток от деления -5а на 5: Очевидно, что -5а делится на 5 без остатка, поскольку -5а можно представить как (-5) * а, и 5 делит -5 без остатка.

Остаток от деления 4 на 5: 4 не делится на 5 без остатка, поэтому остаток от деления 4 на 5 равен самому числу 4.

Теперь мы можем сложить остатки каждого слагаемого: Остаток от деления (2а^2 - 5а + 4) на 5 равен остатку от деления (0 - 0 + 4) на 5, что дает 4.

Таким образом, остаток при делении числа 2а^2 - 5а + 4 на 5 равен 4.