Question

Докажите, что выражение 4х^2+2у^2-4ху-4х+2у+2 принимает положительное значение при любых значениях входящих в него переменных. Помогите пожалуйста!!!!

Answer 1

$4x^2+2y^2-4xy-4x+2y+2=(2x-y)^2-2(2x-y)+y^2+2=$

$=((2x-y)-1)^2+y^2+1>0$ при всех x и y, так как сумма двух неотрицательных величин и одной положительной является величиной положительной.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2$ принимает положительное значение при любых значениях переменных $x$ и $y$, нам нужно показать, что данное выражение больше нуля, то есть $4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2 > 0$, для всех действительных значений $x$ и $y$.

Давайте попробуем доказать это. Перепишем данное выражение:

$4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2$

Для начала, давайте выделим квадратные члены, чтобы увидеть, какие члены зависят от $x^2$ и $y^2$:

$4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2 = 4x^2 - 4xy - 4x + 2y^2 + 2y + 2$

Теперь давайте разложим данное выражение на два квадратных трехчлена:

$4x^2 - 4xy - 4x + 2y^2 + 2y + 2 = (4x^2 - 4xy - 4x) + (2y^2 + 2y + 2)$

Теперь давайте факторизуем оба трехчлена в скобки:

$4x^2 - 4xy - 4x = 4x(x - y - 1)$

$2y^2 + 2y + 2 = 2(y^2 + y + 1)$

Теперь, объединим факторизованные члены:

$4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2 = 4x(x - y - 1) + 2(y^2 + y + 1)$

Теперь заметим, что в каждом скобочном выражении коэффициент при $x$ и $y$ равен 4, а 2. При этом, независимо от значений $x$ и $y$, квадратные члены $(x - y - 1)^2$ и $(y^2 + y + 1)^2$ всегда неотрицательны, так как они представляют собой сумму квадратов, а квадрат числа всегда неотрицателен.

Таким образом, у нас есть сумма двух неотрицательных членов (линейных и квадратных), и поэтому она всегда будет неотрицательной:

$4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2 \geq 0$

Но равенство возможно только тогда, когда оба члена равны нулю, что соответствовало бы значениям $x$ и $y$ таким, что:

$4x(x - y - 1) = 0$ и $2(y^2 + y + 1) = 0$

Так как $4x$ и $2$ не равны нулю, то равенство возможно только в том случае, если $x = 0$ и $y^2 + y + 1 = 0$. Но уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как дискриминант $D = 1 - 4(1)(1) = -3$ отрицателен.

Следовательно, равенство не достигается ни при каких действительных значениях $x$ и $y$, и данное выражение всегда будет больше нуля:

$4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x + 2y + 2 > 0$

Таким образом, мы доказали, что данное выражение принимает положительное значение при любых значениях переменных $x$ и $y$.