Question

Найти высоту равнобедренного треугольника с боковой строной 12, имеющего наибольшую площадь.

Answer 1

Надо определить функцию площади от переменной, которой является сторона основания треугольника.

Примем её равной 2х.

Высота треугольника равна h = √(12² - x²) = √(144 - x²).

Площадь равна S = (1/2)*2x*√(144 - x²) = x√(144 - x²).

Найдём производную: y' = 1*√(144 - x²) - (x*x/√(144 - x²)).

Приведём к общему знаменателю:

y' = (144 - 2x²) /√(144 - x²). Приравняем нулю (числитель):

y' = 144 - x² = 0.  Отсюда х =√72 = 6√2.

Ответ: высота треугольника равна h = √(144 - 72) = √72 = 6√2.

Answer 2

Чтобы найти высоту равнобедренного треугольника с наибольшей площадью, нужно знать формулу для площади такого треугольника и найти максимум этой функции путем дифференцирования.

Для равнобедренного треугольника с боковой стороной a и высотой h, его площадь S вычисляется по формуле:

S = 0.5 * a * h.

Так как треугольник равнобедренный, он имеет две равные стороны. Пусть a - это длина основания, а b - длина равных сторон треугольника. Тогда по условию задачи a = 12.

Чтобы найти h, необходимо выразить ее через b с использованием теоремы Пифагора в правильном треугольнике, образованном половиной основания (a/2), высотой (h) и половиной основания треугольника (b/2):

(b/2)^2 + h^2 = b^2.

Теперь выразим h:

h^2 = b^2 - (b/2)^2 h^2 = b^2 - b^2/4 h^2 = (3/4) * b^2 h = sqrt((3/4) * b^2) h = (sqrt(3)/2) * b.

Теперь, когда мы выразили высоту через длину равных сторон (b), можем выразить площадь S через b:

S = 0.5 * a * h S = 0.5 * 12 * ((sqrt(3)/2) * b) S = 6 * (sqrt(3)/2) * b S = 3 * sqrt(3) * b.

Теперь мы имеем выражение для площади S через длину равных сторон b: S = 3 * sqrt(3) * b.

Теперь нам нужно найти максимальное значение площади S. Максимальное значение S будет достигаться, когда производная S по b равна нулю:

dS/db = 3 * sqrt(3) = 0.

Отсюда получаем, что b не имеет значения (постоянная величина), и следовательно, треугольник является равносторонним.

Таким образом, чтобы равнобедренный треугольник с боковой стороной 12 имел наибольшую площадь, он также должен быть равносторонним. Высота такого треугольника будет равна:

h = (sqrt(3)/2) * b h = (sqrt(3)/2) * 12 h = 6 * sqrt(3) ≈ 10.39.

Таким образом, высота равнобедренного треугольника с боковой стороной 12, имеющего наибольшую площадь, составляет приблизительно 10.39.