Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x + (9/x) на отрезке [1/2; 4]​

Answer 1

Объяснение:

y=x+(9/x)    [(1/2;4]

y'=(x+(9/x))'=1+(9*x⁻¹)'=1-9*x⁻²=1-(9/x²)=0.

9/x²=1

x²=9

x₁=-3 ∉ [(1/2);4]      x₂=3  ∈[(1/2);4]   ⇒

y(1/2)=(1/2)+9/(1/2)=0,5+18=18,5=унаиб.

y(3)=3+(9/3)=3+3=6=yнаим.

y(4)=4+(9/4)=6,25.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x + (9/x) на отрезке [1/2; 4], мы сначала найдем критические точки функции внутри данного интервала и затем проверим значения в этих точках, а также на границах интервала.

Шаг 1: Найдем критические точки, где производная функции равна нулю. y = x + (9/x) y' = 1 - (9/x^2)

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 1 - (9/x^2) = 0 1 = 9/x^2 x^2 = 9 x = ±√9 x = ±3

Критические точки в данном интервале: x = -3 и x = 3.

Шаг 2: Проверим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала [1/2; 4].

а) Для x = -3: y = -3 + (9/(-3)) y = -3 - 3 y = -6

б) Для x = 3: y = 3 + (9/3) y = 3 + 3 y = 6

в) На границе x = 1/2: y = (1/2) + (9/(1/2)) y = 0.5 + 18 y = 18.5

г) На границе x = 4: y = 4 + (9/4) y = 4 + 2.25 y = 6.25

Таким образом, наибольшее значение функции y = x + (9/x) на отрезке [1/2; 4] равно 18.5 (достигается в точке x = 1/2), а наименьшее значение равно -6 (достигается в точке x = -3).