Question

Решите уравнение sin^2x-(√3+1)cosxsinx+√3cos^2x=0 и найдите корни уравнения, которые принадлежат отрезку [П/3, 3П/2]

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для решения уравнения sin^2x - (√3 + 1)cosxsinx + √3cos^2x = 0, давайте преобразуем его:

sin^2x - (√3 + 1)cosxsinx + √3cos^2x = 0

Используем тригонометрическую тождество cos^2x = 1 - sin^2x:

sin^2x - (√3 + 1)cosxsinx + √3(1 - sin^2x) = 0

Теперь объединим слагаемые с sin^2x:

sin^2x - √3sin^2x + (√3 + 1)cosxsinx = 0

Избавимся от скобок и сгруппируем слагаемые:

(1 - √3)sin^2x + (√3 + 1)cosxsinx = 0

Выносим общий множитель за скобку:

sin^2x[(1 - √3) + (√3 + 1)cosx] = 0

Так как sin^2x не может быть равным нулю (это всегда положительное число), уравнение сводится к:

(1 - √3) + (√3 + 1)cosx = 0

Теперь решим уравнение относительно cosx:

(√3 + 1)cosx = √3 - 1

cosx = (√3 - 1) / (√3 + 1)

Для удобства, обозначим (√3 - 1) / (√3 + 1) как k:

k = (√3 - 1) / (√3 + 1)

Для нахождения значения k, подставим в него известные значения:

k = (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.73205

Теперь найдем значения угла x:

cosx = k

x = arccos(k)

x = arccos(0.73205)

Используя калькулятор, получаем:

x ≈ 0.72273 радиан (около 41.5 градусов).

Теперь проверим, лежит ли найденное значение угла x в заданном интервале [π/3, 3π/2]:

π/3 ≈ 1.0472 радиан (около 60 градусов). 3π/2 ≈ 4.7124 радиан (около 270 градусов).

Значение x ≈ 0.72273 радиан (около 41.5 градусов) удовлетворяет условию заданного интервала [π/3, 3π/2].

Итак, корень уравнения, который принадлежит отрезку [π/3, 3π/2], равен x ≈ 0.72273 радиан (около 41.5 градусов).