Question

Решите уравнения : 1) sinx × cosx=sin35° 2) arcsin 2x = arccos x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) 0,5·sin2x = sin35° ⇔ sin2x = 2·sin35°  (1) ;  так как y = sinx

 возрастает в  первой четверти , то sin35° > sin30° = 0,5  ⇒

2·sin35° > 1 ⇒  уравнение (1) не имеет решений

2) arcsin 2x = arccos x (2) ,  arccos x ≥ 0 для всех х ⇒ arcsin 2x ≥ 0

⇒ х ≥ 0  ; так как из области определения у = arcsin2x  следует

, что х ≤ 0,5 , то уравнение (2) имеет решение только ,    

  если x ∈ [ 0 ; 0,5]  , на этом  отрезке левая часть уравнения

меняется от 0 до π/2 ,  а правая  от π/3  до π/2  ⇒    

уравнение ( 2) имеет решение , если множество

значений обеих частей не выходит за пределы [π/3 ; π/2]   , но

на этом отрезке функция y = sinx - возрастает ⇒ уравнение ( 1 )

равносильно на [ 0 ; 0,5]  следующему :  

 sin(arcsin2x) = sin(arccosx)

2x = $\sqrt{1-x^{2} }$  ⇔ 4x² = 1 - x² ⇔ x² = 1/5 ⇒  

x = $\frac{\sqrt{5} }{5}$    ( так как х ≥ 0)

функции , стоящие в левой и правой частях уравнения имеют

разную монотонность , поэтому сразу ясно , что уравнение  

имеет не более одного корня , в этом случае его достаточно

"  угадать "  , но угадать не получилось , пришлось брать

синусы  от обеих частей

f(x) = g(x) ⇔ h(f(x)) = h(g(x) ) , если h(x) -  монотонна и значения

f и g  входят в область определения функции h  , поэтому

и пришлось доказывать , что значения  f   и g  не выходят

за пределы первой четверти , а там  синус возрастает и

поэтому законно брать синусы от обеих частей

Answer 2

Давайте решим уравнения по порядку:

1. sin(x) × cos(x) = sin(35°)

Для решения этого уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества. В частности, тождество произведения для синуса:

sin(α) × cos(β) = 0.5 × sin(α + β) + 0.5 × sin(α - β)

В нашем случае α = x и β = x:

sin(x) × cos(x) = 0.5 × sin(x + x) + 0.5 × sin(x - x)

sin(x + x) = sin(2x) и sin(x - x) = sin(0) = 0:

sin(x) × cos(x) = 0.5 × sin(2x) + 0.5 × 0

sin(x) × cos(x) = 0.5 × sin(2x)

Теперь у нас есть уравнение:

0.5 × sin(2x) = sin(35°)

Умножим обе части уравнения на 2:

sin(2x) = 2 × sin(35°)

Теперь найдем значение sin(35°):

sin(35°) ≈ 0.5736

Теперь решим уравнение:

sin(2x) = 2 × 0.5736

sin(2x) ≈ 1.1472

Теперь найдем обратный синус от значения 1.1472, но стоит отметить, что такое значение не может быть получено, так как диапазон значений синуса находится между -1 и 1. Возможно, в уравнении была ошибка или опечатка. Пожалуйста, уточните условие, если возможно, или предоставьте правильное уравнение.

2. arcsin(2x) = arccos(x)

Для решения этого уравнения, давайте используем тригонометрическое тождество:

arcsin(x) + arccos(x) = π/2

Теперь, заменим x на 2x в тождестве:

arcsin(2x) + arccos(x) = π/2

Теперь, чтобы решить уравнение, приравняем выражение в скобках к какому-то углу, например, α:

arcsin(2x) = α

Тогда получим:

arccos(x) = π/2 - α

Теперь возьмем sin от обеих частей уравнения:

sin(arcsin(2x)) = sin(α)

2x = sin(α)

А теперь возьмем cos от обеих частей уравнения:

cos(arccos(x)) = cos(π/2 - α)

x = cos(π/2 - α)

Теперь у нас есть система уравнений:

2x = sin(α)

x = cos(π/2 - α)

Эту систему можно решить численно, если нам дано значение α. Пожалуйста, предоставьте значение α или продолжите уточнять условие задачи для более точного ответа.