Question

Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою Sn=6n-n^2. Знайдіть: 1) різницю цієї прогресії 2)скільки членів цієї прогресії, починаючи з першого необхідно щоб сума була найбільшою. Дайте решение детально

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Sn=6n-n²

1) S₂=6*2-2²=12-4=8   ⇒

S₂=(a₁+a₂)*2/2=a₁+a₁+d=2a₁+d=8.

S₃=6*3-3²=18-9=9

S₃=(a₁+a₃)*3/2=(a₁+a₁+2d)*3/2=(2*a₁+2d)*3/2=2*(a₁+d)*3/2=3*(a₁+d)=9.

{2a₁+d=8  |÷2       {a₁+0,5d=4

{3*(a₁+d)=9 |÷3     {a₁+d=3

Вычитаем из второго уравнения первое:

0,5d=-1  |×2

d=-2.

2) Sn'=(6n-n²)'=6-2n=0

6-2n=0

2n=6  |÷2

n=3.

Answer 2

Для заданої арифметичної прогресії, сума перших n членів обчислюється за формулою Sn = 6n - n^2.

1. Різниця арифметичної прогресії (d) обчислюється за формулою d = Sn - S(n-1), де Sn - сума перших n членів, S(n-1) - сума перших (n-1) членів.

Замінимо формули Sn у d = Sn - S(n-1):

d = (6n - n^2) - [6(n-1) - (n-1)^2]

Тепер розкриємо дужки:

d = (6n - n^2) - (6n - 6 - n^2 + 2n - 1)

d = 6n - n^2 - 6n + 6 + n^2 - 2n + 1

Зловимо однакові терміни:

d = (-2n) + 7

Таким чином, різниця арифметичної прогресії (d) дорівнює -2n + 7.

2. Щоб знайти, скільки членів (n) потрібно взяти, починаючи з першого, щоб сума була найбільшою, ми маємо знайти значення n, при якому Sn буде максимальним.

Згадаймо, що Sn = 6n - n^2 - сума перших n членів.

Щоб знайти значення n, при якому Sn буде максимальним, потрібно знайти вершину параболи Sn = -n^2 + 6n.

Це можна зробити, знайшовши відповідне значення n за допомогою вершинної формули: n = -b / 2a.

У нашому випадку a = -1, b = 6.

n = -6 / 2(-1) = -6 / -2 = 3.

Отже, нам потрібно взяти 3 члени арифметичної прогресії, починаючи з першого, щоб сума була найбільшою.

Перевіримо, замінивши n у формулі суми:

S3 = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9.

Таким чином, сума перших 3 членів буде найбільшою і дорівнюватиме 9.